Os paradoxos de Zenão

 

No século V a.C., Zenão apresentou argumentos que levaram a conclusões contraditórias ao que todos sabemos por experiência própria — que corredores correm, que flechas voam e que existem muitas coisas diferentes no mundo. Para os filósofos da Grécia Antiga, esses argumentos eram paradoxais. Como muitos dos argumentos de Zenão se baseiam crucialmente na noção de que o espaço e o tempo são infinitamente divisíveis, ele foi o primeiro a demonstrar que o conceito de infinito é problemático.

Em seu Paradoxo de Aquiles, Aquiles corre para alcançar um corredor mais lento — por exemplo, uma tartaruga que rasteja em linha reta, afastando-se dele. A tartaruga tem uma vantagem inicial, então, se Aquiles quiser ultrapassá-la, ele precisa correr pelo menos até o lugar onde a tartaruga está atualmente, raciocina Zenão. 

Mas, quando ele chegar lá, a tartaruga já terá rastejado para um novo lugar, então Aquiles precisa correr pelo menos até esse novo lugar, e assim por diante. De acordo com o raciocínio de Zenão, Aquiles jamais alcançará a tartaruga. Se Zenão e Parmênides negaram o movimento é algo muito controverso, mas estudiosos posteriores, ao longo dos séculos, assumiram isso, tornando-se a posição majoritária. Uma posição minoritária defende que eles não negavam o movimento, mas apenas mostravam que seus oponentes estavam comprometidos com essa ideia.

Não podemos escapar do paradoxo de Aquiles levantando-nos de um salto e correndo atrás de uma tartaruga, nem dizendo que os oponentes de Zenão deveriam ter construído um novo argumento no qual Aquiles mirasse melhor e corresse para um lugar à frente da tartaruga. Como Zenão estava correto ao afirmar que Aquiles precisa correr pelo menos para todos os lugares onde a tartaruga esteve, o que se faz necessário é uma análise mais aprofundada do próprio argumento de Zenão.

Este artigo explica os dez paradoxos conhecidos de Zenão e considera as abordagens propostas. No Paradoxo de Aquiles, Zenão assumiu que as distâncias e as durações são infinitamente divisíveis, no sentido de possuírem uma infinidade real de partes, e assumiu que essas partes são excessivas para o corredor completar. A abordagem de Aristóteles afirma que Zenão deveria ter assumido, em vez disso, que existem apenas uma infinidade potencial de lugares para onde correr, de modo que, a qualquer momento, a divisão hipotética em partes produz apenas um número finito de partes, e o corredor tem tempo para completar todas elas. 

A abordagem de Aristóteles foi geralmente aceita até o final do século XIX. A abordagem padrão atual, a chamada "Solução Padrão", implica que o percurso de Aquiles contém uma infinidade real de lugares e partes, mas Zenão estava enganado ao assumir que esse número é excessivo. Essa abordagem emprega o aparato matemático do cálculo, que se provou indispensável para o desenvolvimento da ciência moderna. O artigo termina explorando abordagens mais recentes dos paradoxos — e paradoxos relacionados, como o Paradoxo da Lâmpada de Thomson — que foram desenvolvidas desde a década de 1950.

1. Zenão de Eleia

a. Sua Vida

Zenão nasceu por volta de 490 a.C. na cidade-estado grega de Eleia, atual Velia, na costa oeste do que hoje é o sul da Itália; e morreu por volta de 430 a.C. Ele foi amigo e aluno de Parmênides, que era vinte e cinco anos mais velho e também vivia em Eleia. Ele não era matemático.

Há poucas informações adicionais e confiáveis ​​sobre a vida de Zenão. Plutarco afirmou que Zenão visitou Atenas. Anteriormente, Platão havia comentado (em Parmênides 127b) que Parmênides levou Zenão consigo para Atenas, onde este encontrou Sócrates, que era cerca de vinte anos mais jovem que Zenão, mas os estudiosos atuais consideram que esse encontro provavelmente foi inventado por Platão para aprimorar a narrativa. Há também relatos de que Zenão foi preso por levar armas a rebeldes que se opunham ao tirano que governava Eleia. Quando questionado pelas autoridades sobre seus cúmplices, Zenão disse que desejava sussurrar algo em particular ao tirano. Mas quando o tirano se aproximou, Zenão o mordeu e não o soltou até ser esfaqueado. Diógenes Laércio relatou essa história apócrifa setecentos anos após a morte de Zenão.

b. Seu livro

Segundo o comentário de Platão em seu Parmênides (127a a 128e), Zenão trouxe consigo um tratado quando visitou Atenas. Dizia-se que era um livro de paradoxos que defendia a filosofia de Parmênides. Platão (427-347 a.C.) e Aristóteles podem ter tido acesso ao livro, mas Platão não apresentou nenhum dos argumentos, e as apresentações dos argumentos por Aristóteles são bastante concisas. Muitos séculos depois, os filósofos gregos Proclo (412-485 d.C.) e Simplício (490-560 d.C.) comentaram o livro e seus argumentos. Eles tiveram acesso a parte do livro, talvez a todo ele, mas ele não sobreviveu. Proclo foi o primeiro a nos dizer que o livro continha quarenta argumentos. 

Esse número é confirmado pelo comentador Elias, do século VI a.C., que é considerado uma fonte independente porque não menciona Proclo. Infelizmente, não conhecemos datas específicas para a composição de nenhum dos paradoxos de Zenão, e sabemos muito pouco sobre como ele os formulou. Temos, no entanto, uma citação direta, via Simplício, do Paradoxo da Densidade e uma citação parcial, também via Simplício, do Paradoxo do Grande e do Pequeno. No total, conhecemos menos de duzentas palavras que podem ser atribuídas a Zenão. Nosso conhecimento desses dois paradoxos e dos outros sete discutidos neste artigo nos chega indiretamente por meio de paráfrases e comentários, principalmente de seus quatro oponentes: Aristóteles, Platão, Proclo e Simplício. Os nomes dos paradoxos foram criados por comentadores posteriores, não por Zenão. Mil anos depois de Zenão, um comentário de Hesíquio sugeriu que talvez houvesse mais três livros de Zenão além daquele mencionado por Platão, mas os estudiosos geralmente não aceitam essa afirmação, pois acredita-se que pelo menos três dos nomes de livros mencionados por Hesíquio se refiram a um único livro.

c. Seus objetivos

No início do século V a.C., Parmênides enfatizou a distinção entre aparência e realidade. A realidade, disse ele, é uma unidade perfeita, imutável e indestrutível, de modo que as aparências da realidade são enganosas. Nossos relatos de observação comuns são falsos; eles não refletem o que é real. Essa teoria metafísica é o oposto da teoria de Heráclito. Embora não saibamos pelo próprio Zenão se ele aceitava seus argumentos paradoxais, ou exatamente qual era o ponto que ele estava defendendo com eles, ou qual era a relação entre as visões de Parmênides e as de Zenão, a posição historicamente mais influente sobre todos esses assuntos é a de Platão. 

Platão afirmou que os paradoxos foram concebidos para fornecer argumentos detalhados e de apoio às crenças de Parmênides, demonstrando que a confiança do senso comum grego na realidade do movimento, da mudança e da pluralidade ontológica (isto é, na existência de muitas coisas) envolvia absurdos. A interpretação clássica de Platão sobre Zenão foi aceita por Aristóteles e pela maioria dos outros comentadores ao longo dos séculos subsequentes. Na interpretação de Platão, pode-se razoavelmente dizer que o objetivo de Zenão era mostrar que seus paradoxos da Dicotomia e de Aquiles demonstram que qualquer processo contínuo leva uma quantidade infinita de tempo, o que é paradoxal, enquanto os paradoxos da Flecha e do Estádio demonstram que o conceito de mudança descontínua é paradoxal. Como tanto a mudança contínua quanto a descontínua são paradoxais, o mesmo ocorre com qualquer mudança.

Esta é a posição de Gregório Vlastos a respeito dos objetivos de Zenão. Eudemo, um discípulo de Aristóteles, ofereceu outra interpretação para os objetivos de Zenão. Ele sugeriu que Zenão estava desafiando tanto o pluralismo quanto o monismo de Parmênides, o que implicaria que Zenão era um niilista. Paul Tannery, em 1885, e Wallace Matson, em 2001, ofereceram uma terceira interpretação dos objetivos de Zenão em relação aos paradoxos do movimento. Platão e Aristóteles não compreenderam os argumentos de Zenão nem seu propósito, afirmam eles. Zenão estava, na verdade, desafiando os pitagóricos e sua vertente particular de pluralismo, não o senso comum grego. Tannery e Matson sugerem que o próprio Zenão não acreditava nas conclusões de seus próprios paradoxos.

A questão controversa da interpretação dos verdadeiros objetivos e propósitos de Zenão não será aprofundada neste artigo. Em vez disso, adota-se a interpretação clássica de Platão, por ser a que exerceu maior influência ao longo da história e porque o paradoxo, tal como interpretado classicamente, ainda precisa ser refutado, mesmo que Matson e Tannery estejam corretos quanto à posição de Zenão. O objetivo mais importante para o campo da filosofia é compreender como lidar com as versões mais robustas dos argumentos de Zenão, mesmo que ele próprio não as tenha apresentado. Este artigo continua a chamar os argumentos de Zenão de “paradoxos”, embora hoje sejam considerados mais como enigmas de dificuldade variável do que paradoxos propriamente ditos.

Aristóteles acreditava que os paradoxos de Zenão eram triviais e facilmente resolvidos, mas filósofos posteriores não chegaram a um consenso sobre essa trivialidade.

d. Seu método

Antes de Zenão, os pensadores gregos preferiam apresentar suas visões filosóficas por meio da poesia. Zenão iniciou a grande mudança da poesia para uma prosa que continha premissas e conclusões explícitas. E empregou o método da prova indireta em seus paradoxos, assumindo temporariamente alguma tese à qual se opunha e, em seguida, tentando deduzir uma conclusão absurda ou uma contradição, minando assim a suposição temporária. Esse método de prova indireta, ou redução ao absurdo, provavelmente teve origem com os matemáticos gregos, mas Zenão o utilizou de forma mais sistemática e consciente.

2. A solução padrão para os paradoxos

Qualquer paradoxo pode ser resolvido abandonando-se um número suficiente de suas premissas cruciais. Ao examinar os paradoxos de Zenão, é muito interessante considerar quais premissas abandonar e por quê. Um paradoxo, conforme o termo é usado neste artigo, é um argumento que chega a uma contradição por meio de passos aparentemente legítimos a partir de premissas aparentemente razoáveis, enquanto os especialistas da época não conseguem chegar a um consenso sobre a saída do paradoxo, ou seja, sobre sua resolução. É este último ponto, sobre a discordância entre os especialistas, que distingue um paradoxo de um mero enigma no sentido comum do termo. Os paradoxos de Zenão são hoje geralmente considerados enigmas devido ao amplo consenso entre os especialistas atuais de que existe pelo menos uma resolução aceitável para os paradoxos, e que esta aplica as ferramentas do cálculo.

Essa resolução é chamada de Solução Padrão . Ela destaca que, embora Zenão estivesse correto ao afirmar que, em qualquer ponto ou instante antes de alcançar o objetivo, sempre há algum caminho ainda não percorrido, isso não implica que o objetivo nunca seja alcançado, apesar da afirmação de Zenão nesse sentido. Mais especificamente, a Solução Padrão afirma que, para os corredores no Paradoxo de Aquiles e no Paradoxo da Dicotomia, o caminho do corredor é um contínuo físico que se completa ao correr a uma velocidade positiva e finita. 

Os detalhes pressupõem cálculo diferencial e mecânica clássica. A Solução Padrão trata a velocidade como a derivada da distância em relação ao tempo. Ela assume que os processos físicos são conjuntos de eventos pontuais. Implica que durações, distâncias e segmentos de reta são todos contínuos lineares compostos de pontos indivisíveis, e usa essas ideias para questionar várias suposições feitas e inferências realizadas por Zenão. Para ser muito breve e anacrônico, o erro de Zenão (e o erro de Aristóteles) foi não usar o cálculo. Mais especificamente, no caso dos paradoxos do movimento, como o de Aquiles e o da dicotomia, o erro de Zenão não foi assumir que existe uma infinidade de lugares para o corredor ir, como Aristóteles disse ser o erro de Zenão. Em vez disso, o erro de Zenão e de Aristóteles foi assumir que esse número de lugares para o corredor ir é excessivo em um tempo finito.

Essa suposição se baseia na incapacidade deles de acreditar que a soma de infinitos números pode ser finita. Por exemplo, considere seu bolo de aniversário. Você come metade dele. Depois, come metade do que sobrou. Depois, metade disso, e assim por diante. Quanto bolo você comeu no total? Bem, se você assumir que o bolo é um contínuo, de modo que você pode comer metade de uma molécula e metade dessa molécula, então um matemático ou físico do século XXI diria que você comeu exatamente um bolo. Zenão temia que você tivesse comido muito mais do que um bolo.

Uma premissa fundamental da Solução Padrão é que esta resolução não se limita a empregar conceitos que minariam o raciocínio de Zenão — o raciocínio de Aristóteles também o faz, pelo menos na maioria dos paradoxos —, mas sim conceitos que se mostraram adequados para o desenvolvimento de um sistema coerente e frutífero de matemática e física. A abordagem de Aristóteles aos paradoxos não utiliza esses conceitos frutíferos da física matemática. Aristóteles não acreditava que o uso da matemática fosse necessário para compreender o mundo. A Solução Padrão é muito mais complexa do que a abordagem de Aristóteles, e não se pode atribuir a sua criação a uma única pessoa. Além disso, o principal objetivo da filosofia é resolver os paradoxos da forma mais robusta possível, e não simplesmente em sua forma original.

A Solução Padrão nos permite falar de um evento ocorrendo pi segundos após outro, e de um evento ocorrendo a raiz quadrada de três segundos após outro. No discurso comum fora do campo científico, jamais precisaríamos desse tipo de precisão, mas ela é necessária na física matemática e em seu cálculo. A necessidade dessa precisão levou à exigência de que o tempo seja um contínuo linear, muito semelhante a um segmento da reta numérica real. Por "números reais", não nos referimos a números absolutos, mas sim a números decimais.

O cálculo foi inventado no final do século XVII por Newton e Leibniz. Trata-se de uma técnica para tratar o movimento contínuo como sendo composto por um número infinito de passos infinitesimais. Após a aceitação do cálculo, quase todos os matemáticos e físicos acreditavam que o movimento contínuo deveria ser modelado por uma função que recebe números reais representando o tempo como argumento e que fornece números reais representando a posição espacial como valor. Essa função de posição deveria ser contínua, ou seja, sem lacunas. 

Além disso, a função de posição deveria ser diferenciável para que a velocidade, tratada como a taxa de variação da posição, pudesse ser compreendida. No início do século XX, a maioria dos matemáticos passou a acreditar que, para compreender rigorosamente o movimento, a matemática precisava de uma teoria dos conjuntos totalmente desenvolvida que definisse rigorosamente os conceitos-chave de número real, continuidade e diferenciabilidade. Isso exigia um conceito bem definido de contínuo . Infelizmente, Newton e Leibniz não tinham uma boa definição de contínuo, e encontrar uma adequada exigiu mais de duzentos anos de trabalho.

O contínuo é um conjunto muito especial; é o modelo padrão dos números reais. Intuitivamente, um contínuo é uma entidade contínua; é um todo que não possui lacunas. Alguns exemplos de contínuo são a trajetória do centro de massa de um corredor, o tempo decorrido durante esse movimento, a salinidade do oceano e a temperatura ao longo de uma barra metálica. Distâncias e durações são normalmente consideradas contínuos físicos reais, enquanto tratar a salinidade do oceano e a temperatura da barra como contínuos é uma aproximação muito útil para muitos cálculos em física, embora saibamos que, em nível atômico, a aproximação deixa de ser válida.

A distinção entre “um” contínuo e “o” contínuo reside no fato de que “o” contínuo é o paradigma de “um” contínuo. O contínuo é a reta matemática, a reta da geometria, que é geralmente entendida como tendo a mesma estrutura que os números reais em sua ordem natural. Números reais e pontos no contínuo podem ser colocados em uma correspondência biunívoca que preserva a ordem. Não há números racionais suficientes para essa correspondência, embora os números racionais também sejam densos (no sentido de que entre quaisquer dois números racionais existe outro número racional).

Para os paradoxos de Zenão, a análise padrão assume que o comprimento deve ser definido em termos de medida e o movimento em termos da derivada. Essas definições são dadas em termos do contínuo linear. As características mais importantes de qualquer contínuo linear são: (a) ele é composto de pontos indivisíveis; (b) ele é um conjunto verdadeiramente infinito, isto é, um conjunto transfinito, e não meramente um conjunto potencialmente infinito que aumenta com o tempo; (c) ele é indivisível, mas infinitamente divisível (isto é, não possui lacunas); (d) os pontos estão tão próximos uns dos outros que nenhum ponto pode ter um ponto imediatamente adjacente a ele; (e) entre quaisquer dois pontos existem outros pontos; (f) a medida (como o comprimento) de um contínuo não é uma questão de somar as medidas de seus pontos nem somar o número de seus pontos; (g) qualquer parte conexa de um contínuo também é um contínuo; e (h) existe um número de pontos igual a um aleph-um entre quaisquer dois pontos.

O espaço físico não é um contínuo linear porque é tridimensional e não linear; mas possui subespaços unidimensionais, como as trajetórias de corredores e as órbitas de planetas; e estes são contínuos lineares se considerarmos a trajetória criada por apenas um ponto no corredor e a órbita criada por apenas um ponto no planeta. Em relação ao tempo, a cada instante (pontual) é atribuído um número real como seu tempo, e a cada instante é atribuída uma duração zero. O tempo que Aquiles leva para alcançar a tartaruga é um intervalo temporal, um contínuo linear de instantes, de acordo com a Solução Padrão (mas não de acordo com Zenão ou Aristóteles). 

A Solução Padrão afirma que a sequência de objetivos de Aquiles (os objetivos de alcançar o ponto onde a tartaruga está) deve ser abstraída de um conjunto transfinito preexistente, ou seja, um contínuo linear de lugares pontuais ao longo da trajetória da tartaruga. A abordagem de Aristóteles não faz isso. A próxima seção deste artigo apresenta os detalhes de como os conceitos da Solução Padrão são usados ​​para resolver cada um dos Paradoxos de Zenão.

Dos dez paradoxos conhecidos, o de Aquiles foi o que mais atraiu atenção ao longo dos séculos. A abordagem de Aristóteles ao paradoxo envolveu acusar Zenão de usar o conceito de infinito atual ou completo em vez do conceito de infinito potencial, e de não perceber que uma linha não pode ser composta de pontos indivisíveis. A abordagem de Aristóteles é descrita em detalhes abaixo. Ela foi geralmente aceita até o século XIX, mas gradualmente perdeu terreno para a Solução Padrão. Alguns historiadores afirmam que Aristóteles não apresentou uma solução, mas apenas uma pequena objeção verbal. Este artigo não toma partido nessa disputa e se concentra na abordagem de Aristóteles.

O desenvolvimento do cálculo foi o passo mais importante na Solução Padrão dos paradoxos de Zenão, então por que demorou tanto para que a Solução Padrão fosse aceita após Newton e Leibniz desenvolverem o cálculo? Esse período durou cerca de duzentos anos. Há quatro razões. (1) Levou tempo para que o cálculo e o restante da análise real comprovassem sua aplicabilidade e utilidade na física, especialmente durante o século XVIII. (2) Levou tempo para que a relativa superficialidade do tratamento dado por Aristóteles aos paradoxos de Zenão fosse reconhecida. (3) Levou tempo para que os filósofos da ciência compreendessem que cada conceito teórico usado em uma teoria física não precisa ter seu próprio correlato em nossa experiência. (4) Levou tempo para que certos problemas nos fundamentos da matemática fossem resolvidos, como encontrar uma definição melhor para o contínuo e evitar os paradoxos da teoria ingênua dos conjuntos de Cantor.

O ponto (2) é discutido na seção 4 abaixo.

O ponto (3) trata do tempo que os filósofos da ciência levaram para rejeitar a exigência, defendida por Ernst Mach e pela maioria dos positivistas lógicos, de que cada termo significativo na ciência deve ter um “significado empírico”. Essa exigência consistia em que cada conceito físico fosse definível separadamente por meio de termos de observação. Acreditava-se que, como nossa experiência é finita, o termo “infinito atual” ou “infinito completo” não poderia ter significado empírico, mas “infinito potencial” poderia. Hoje, a maioria dos filósofos não restringiria o significado ao significado empírico.

O ponto (1) refere-se ao tempo necessário para que a mecânica clássica se desenvolvesse a ponto de ser aceita como fornecedora de soluções corretas para problemas envolvendo movimento. O ponto (1) foi, e ainda é, contestado na literatura metafísica sob a alegação de que a descrição abstrata da continuidade na análise real não descreve verdadeiramente nem o tempo, nem o espaço, nem a realidade física concreta. Essa contestação será discutida em seções posteriores.

O ponto (4) surge porque o padrão de prova rigorosa e definição rigorosa de conceitos aumentou ao longo dos anos. Consequentemente, as dificuldades nos fundamentos da análise real, que começaram com a crítica de George Berkeley às inconsistências no uso de infinitesimais no cálculo (ele chamou os infinitesimais de “fantasmas de quantidades que partiram” e advertiu os matemáticos a não acreditarem em fantasmas), não foram resolvidas satisfatoriamente até o início do século XX com o desenvolvimento da teoria dos conjuntos de Zermelo-Fraenkel. A ideia central era elaborar as condições necessárias e suficientes para que algo fosse um contínuo. Para atingir esse objetivo, as condições para ser um contínuo matemático tinham que ser estritamente aritméticas e não depender de nossas intuições sobre espaço, tempo e movimento. 

A ideia era revisar ou “ajustar” a definição até que ela não criasse novos paradoxos e ainda fornecesse teoremas úteis. Quando essa revisão foi concluída, pôde-se declarar que o conjunto dos números reais é um infinito real, não um infinito potencial, e que não apenas qualquer intervalo de números reais é um contínuo linear, mas também os caminhos espaciais, as durações temporais e os movimentos mencionados nos paradoxos de Zenão. Além disso, era importante esclarecer como calcular a soma de uma série infinita (como 1/2 + 1/4 + 1/8 + …) sem exigir que alguém somasse manualmente ou realizasse alguma ação que demandasse uma quantidade infinita de tempo. O esclarecimento consiste em dizer que a soma da série infinita resulta em um valor finito se as somas parciais (da soma dos dois primeiros termos, depois dos três primeiros e assim por diante) se aproximarem cada vez mais desse valor finito. 

Finalmente, os matemáticos precisavam definir o movimento em termos da derivada. Este novo sistema matemático exigiu muitos conceitos novos e bem definidos, como conjunto compacto, conjunto conexo, continuidade, função contínua, convergência a um limite de uma sequência infinita, curvatura em um ponto, corte, derivada, dimensão, função, integral, limite, medida, referencial, conjunto e tamanho de um conjunto. Assim como para esses novos conceitos matemáticos, o rigor foi adicionado às definições destes conceitos físicos: lugar, instante, duração, distância e velocidade instantânea. As revisões relevantes foram feitas por Euler no século XVIII e por Bolzano, Cantor, Cauchy, Dedekind, Frege, Hilbert, Lebesgue, Peano, Russell, Weierstrass e Whitehead, entre outros, durante os séculos XIX e início do XX.

O que aconteceu ao longo desses séculos com os infinitesimais de Leibniz e as fluxões de Newton? Vamos nos ater aos infinitesimais, já que as fluxões apresentam os mesmos problemas e a mesma resolução. Em 1734, Berkeley criticou acertadamente o uso de infinitesimais como sendo “fantasmas de quantidades desaparecidas” que são usadas de forma inconsistente no cálculo. Anteriormente, Newton havia definido a velocidade instantânea como a razão entre uma distância infinitesimalmente pequena e uma duração infinitesimalmente pequena, e ele e Leibniz desenvolveram um sistema para calcular velocidades variáveis ​​que se mostrou muito frutífero. Mas ninguém naquele século ou no seguinte conseguiu explicar adequadamente o que era um infinitesimal. Newton os chamou de “quantidades divisíveis evanescentes”, seja lá o que isso significasse. Leibniz os chamou de “inconstantemente pequenos”, mas isso era igualmente vago.

O uso prático de infinitesimais era assistemático. Por exemplo, o infinitesimal dx é tratado como igual a zero quando se declara que x + dx = x, mas é tratado como diferente de zero quando usado no denominador da fração [f(x + dx) – f(x)]/dx, que é usada na derivada da função f. Além disso, considere a propriedade aparentemente óbvia de Arquimedes para pares de números positivos: dados quaisquer dois números positivos A e B, se você somar cópias suficientes de A, poderá obter uma soma maior que B. Essa propriedade falha se A for um infinitesimal. Finalmente, os matemáticos desistiram de responder às acusações de Berkeley (e, portanto, redefiniram o que entendemos por análise padrão) porque, em 1821, Cauchy mostrou como obter os mesmos teoremas úteis do cálculo usando a ideia de limite em vez de infinitesimal. Mais tarde, no século XIX, Weierstrass resolveu algumas das inconsistências na abordagem de Cauchy e demonstrou satisfatoriamente como definir a continuidade em termos de limites (seu método épsilon-delta). Como aponta JO Wisdom (1953, p. 23), “Ao mesmo tempo, tornou-se claro que a teoria de [Leibniz e] Newton, com emendas e acréscimos adequados, poderia ser solidamente fundamentada”, desde que os infinitesimais de Leibniz e as fluxões de Newton fossem removidos. Em um esforço para fornecer essa base sólida de acordo com o padrão mais recente e elevado do que é considerado “sólido”, Peano, Frege, Hilbert e Russell tentaram axiomatizar adequadamente a análise real. Infelizmente, isso levou, em 1901, ao paradoxo de Russell e à frutífera controvérsia sobre como fundamentar toda a matemática. Essa controvérsia ainda persiste, mas a visão majoritária é que a teoria axiomática dos conjuntos de Zermelo-Fraenkel, com o axioma da escolha, bloqueia todos os paradoxos, legitima a teoria dos conjuntos transfinitos de Cantor e fornece a base adequada para a análise real e outras áreas da matemática, resolvendo indiretamente os paradoxos de Zenão. Essa análise real padrão não inclui infinitesimais, graças a Cauchy e Weierstrass. A análise real padrão é a matemática que a Solução Padrão aplica aos paradoxos de Zenão.

Na análise real padrão, os números racionais não são contínuos, embora sejam infinitamente numerosos e infinitamente densos. Para estabelecer uma base para o cálculo, era necessário definir a continuidade dos números reais. Mas isso exigia uma boa definição de números irracionais. Não havia nenhuma antes de 1872. A definição de Dedekind, em 1872, define os misteriosos números irracionais em termos dos familiares números racionais. O resultado é uma definição clara e útil de números reais. A utilidade da definição de Dedekind para números reais, e a falta de uma definição melhor, convenceram muitos matemáticos a aceitarem com mais facilidade os números reais e os conjuntos verdadeiramente infinitos.

Vamos fazer um breve intervalo para apresentar a ideia fundamental e inovadora de Dedekind, descoberta na década de 1870, sobre os números reais e sua relação com os números racionais. Ele idealizou como definir um número real como um corte dos números racionais, onde um corte é um certo par ordenado de conjuntos, na verdade infinitos, de números racionais.

Um corte de Dedekind (A,B) é definido como uma partição ou divisão do conjunto ordenado padrão de todos os números racionais em uma parte esquerda A e uma parte direita B. A e B são não vazios e dividem todos os racionais de forma que os números em A sejam menores que todos os números em B, e A não contenha nenhum número maior. Todo número real é um corte de Dedekind único. O corte pode ser feito em um número racional ou em um número irracional. Aqui estão exemplos de cada um:

O número real de Dedekind, 1/2, é ({x : x < 1/2} , {x: x ≥ 1/2}).

O número real positivo √2 de Dedekind é ({x : x < 0 ou x 2 < 2} , {x: x 2 ≥ 2}).

O valor de 'x' deve ser exclusivamente racional. Para qualquer corte (A, B), se B possui um menor número, então o número real correspondente a esse corte é o menor número, como na definição de ½ acima. Caso contrário, o corte define um número irracional que, em termos gerais, preenche a lacuna entre A e B, como na definição da raiz quadrada de 2 acima. Ao definir os números reais em termos de números racionais dessa maneira, Dedekind fundamentou os números reais e os legitimou, demonstrando que são tão aceitáveis ​​quanto conjuntos de números racionais verdadeiramente infinitos.

Mas o que exatamente é um conjunto verdadeiramente infinito (ou transfinito), e essa ideia leva a contradições? Essa questão precisa de resposta para que haja uma boa teoria da continuidade e dos números reais. Na década de 1870, Cantor esclareceu o que é um conjunto verdadeiramente infinito e apresentou argumentos convincentes de que o conceito não leva a inconsistências. Essas conquistas de Cantor são o motivo pelo qual ele (juntamente com Dedekind e Weierstrass) é considerado por Russell como tendo "resolvido os paradoxos de Zenão".

Essa solução recomenda o uso de conceitos e teorias muito diferentes daqueles usados ​​por Zenão. O argumento de que essa é a solução correta foi apresentado por muitas pessoas, mas foi especialmente influenciado pelo trabalho de Bertrand Russell (1914, palestra 6) e pelo trabalho mais detalhado de Adolf Grünbaum (1967). Em resumo, o argumento para a Solução Padrão é que temos fundamentos sólidos para acreditar em nossas melhores teorias científicas, mas as teorias da matemática, como o cálculo e a teoria dos conjuntos de Zermelo-Fraenkel, são indispensáveis ​​a essas teorias, então também temos fundamentos sólidos para acreditar nelas. As teorias científicas exigem uma resolução dos paradoxos de Zenão e dos outros paradoxos; e a Solução Padrão para os Paradoxos de Zenão, que usa o cálculo padrão e a teoria dos conjuntos de Zermelo-Fraenkel, é indispensável para essa resolução ou, pelo menos, é a melhor resolução, ou, se não, podemos ter bastante certeza de que não há solução melhor, ou, se também não houver, podemos ter confiança de que a solução é boa o suficiente (para nossos propósitos). A abordagem de Aristóteles, por outro lado, utiliza conceitos que dificultam o desenvolvimento da matemática e da ciência. Portanto, devemos aceitar a Solução Padrão.

Na próxima seção, essa solução será aplicada a cada um dos dez paradoxos de Zenão.

Em uma perspectiva otimista, a Solução Padrão representa um contraexemplo à afirmação de que os problemas filosóficos nunca são resolvidos. Em uma perspectiva menos otimista, a Solução Padrão tem suas desvantagens e alternativas, e estas geraram novas e interessantes controvérsias filosóficas a partir da segunda metade do século XX, como veremos em seções posteriores. As principais alternativas apresentam abordagens diferentes do cálculo diferencial e integral em relação àquelas desenvolvidas no final do século XIX. Se isso implica que os paradoxos de Zenão têm múltiplas soluções ou apenas uma, ainda é uma questão em aberto.

Zenão cometeu erros? E foi superficial ou profundo? Essas questões são objeto de debate na literatura filosófica. A posição majoritária é a seguinte: se reconstruirmos seus paradoxos de forma compreensiva, ele demonstrou corretamente que alguns conceitos importantes da Grécia Clássica são logicamente inconsistentes, e não cometeu nenhum erro ao fazê-lo, exceto no Paradoxo das Fileiras Móveis, no Paradoxo dos Semelhantes e Diferentes e no Paradoxo do Grão de Milho, seus paradoxos mais fracos. Zenão partiu do pressuposto de que os conceitos da Grécia Clássica eram os corretos para se usar no raciocínio sobre seus paradoxos, e hoje preferimos conceitos revisados, embora seja injusto dizer que ele errou ao não prever os desenvolvimentos posteriores na matemática e na física.

3. Os Dez Paradoxos

Zenão provavelmente criou quarenta paradoxos, dos quais apenas os dez seguintes são conhecidos. Somente os quatro primeiros possuem nomes padronizados, e os dois primeiros receberam maior atenção. Os dez restantes apresentam qualidade variável. Zenão e seus intérpretes da Antiguidade geralmente enunciavam seus paradoxos de forma inadequada, de modo que foi necessária uma reconstrução engenhosa ao longo dos anos para revelar toda a sua força. A seguir, os paradoxos são reconstruídos de forma coerente, e então a Solução Padrão é aplicada a eles. Essas reconstruções utilizam apenas um dos vários esquemas plausíveis para apresentar os paradoxos, mas o presente artigo não explora a pesquisa histórica sobre a variedade de esquemas interpretativos e sua plausibilidade relativa.

a. Paradoxos do Movimento

i. O Aquiles

Aquiles, que podemos presumir ser o corredor mais veloz da antiguidade, está numa corrida para alcançar a tartaruga que se arrasta lentamente para longe dele. Ambos se movem em linha reta a velocidades constantes. Para alcançar a tartaruga, Aquiles terá que chegar ao local onde ela se encontra. Contudo, quando Aquiles chegar lá, a tartaruga já terá se deslocado para um novo local. Aquiles terá então que alcançar esse novo local. Quando Aquiles chegar a esse local, a tartaruga já terá se movido para outro lugar, e assim por diante, indefinidamente. Zenão afirma que Aquiles jamais alcançará a tartaruga, partindo do pressuposto de que ela continua rastejando e não para. Esse argumento demonstra, segundo ele, que qualquer um que acredite que Aquiles conseguirá alcançar a tartaruga e que, de modo geral, acredite que o movimento é fisicamente possível, é vítima de uma ilusão. A afirmação de que o movimento é uma ilusão já havia sido feita por Parmênides, tutor de Zenão.

A fonte de todos os argumentos de Zenão são os escritos de seus oponentes. O Paradoxo de Aquiles é reconstruído a partir de Aristóteles ( Física, Livro VI, Capítulo 8, 239b14-16) e de algumas passagens de Simplício, do século V d.C. Não há evidências de que Zenão tenha usado uma tartaruga em vez de um humano lento. A tartaruga foi uma adição posterior de Simplício. Aristóteles se referia simplesmente ao "corredor" que compete com Aquiles.

Não adianta reagir dizendo que a solução para o paradoxo reside nas limitações biológicas quanto ao tamanho do passo que Aquiles pode dar. Os pés de Aquiles não são obrigados a parar e recomeçar em cada um dos locais descritos acima, portanto, não há limite para a proximidade entre esses locais. Uma versão mais robusta do paradoxo nos levaria a considerar o movimento do centro de massa de Aquiles. É mais adequado pensar na mudança de Aquiles de um local para outro como um movimento contínuo, e não como passos incrementais que exigem paradas e recomeços. Zenão parte do pressuposto de que o espaço e o tempo são infinitamente divisíveis; não são discretos nem atomísticos. Se fossem, o argumento do paradoxo não funcionaria.

Uma crítica comum ao raciocínio de Zenão é que ele está criando um espantalho, pois é óbvio que Aquiles não conseguirá alcançar a tartaruga se continuar mirando mal no local onde ela está; ele deveria mirar mais à frente. O erro nessa crítica reside no fato de que, mesmo que Aquiles tivesse mirado melhor, ainda assim ele precisaria ir a cada um dos locais que são os objetivos das chamadas "más miras", portanto, comentar sobre uma má mira não é uma forma adequada de refutar o argumento de Zenão.

A abordagem denominada "Solução Padrão" para o Paradoxo de Aquiles utiliza cálculo e outras áreas da análise real para descrever a situação. Ela implica que Zenão está assumindo que Aquiles não pode atingir seu objetivo porque

(1) é demasiado longe para correr, ou

(2) não há tempo suficiente, ou

(3) há muitos lugares para ir, ou

(4) não há etapa final, ou

(5) há muitas tarefas.

Os registros históricos não nos dizem qual dessas era a verdadeira suposição de Zenão, mas todas são suposições falsas, de acordo com a Solução Padrão.

Consideremos a hipótese (1). Presumivelmente, Zenão defenderia essa hipótese observando que há uma infinidade de subdistâncias envolvidas na corrida de Aquiles, e a soma dessas subdistâncias é um infinito, uma distância excessiva até mesmo para Aquiles. No entanto, o defensor da Solução Padrão argumentaria: “Como Zenão sabe qual é a soma dessa série infinita, visto que, na época de Zenão, os matemáticos só conseguiam compreender a soma de uma série de termos se houvesse um número finito de termos na série? Talvez ele esteja apenas supondo que a soma de um número infinito de termos possa, de alguma forma, ser bem definida e infinita.” De acordo com a Solução Padrão, a soma é finita. Aqui está um gráfico, utilizando os métodos da Solução Padrão, que mostra a atividade de Aquiles enquanto persegue a tartaruga e a alcança.

Para facilitar a compreensão, Zenão e a tartaruga são considerados massas pontuais ou partículas infinitesimais, cada uma movendo-se a uma velocidade constante (isto é, uma velocidade constante em uma direção). O gráfico mostra que a trajetória de Aquiles é um contínuo linear e, portanto, composta por uma infinidade real de pontos. (Uma infinidade real também é chamada de "infinito completo" ou "infinito transfinito". A palavra "real" não significa "real" em oposição a "imaginário".) A falha de Zenão em assumir que a trajetória de Aquiles é um contínuo linear é um passo fatal em seu argumento, de acordo com a Solução Padrão, que exige que o raciocinador utilize os conceitos da física matemática contemporânea.

Aquiles percorre uma distância d₁ para chegar ao ponto x₁ , onde a tartaruga começa, mas quando Aquiles chega a x₁ , a tartaruga já se moveu para um novo ponto x₂ . Quando Aquiles chega a x₂ , tendo percorrido uma distância adicional d₂ , a tartaruga já se moveu para o ponto x₃ , exigindo que Aquiles percorra uma distância adicional d₃ , e assim por diante. Essa sequência de distâncias não sobrepostas (ou intervalos ou subtrajetórias) é, na verdade, infinita, mas felizmente a série geométrica converge. A soma de seus termos d₁ + d₂ + d₃ + ... é uma distância finita que Aquiles pode facilmente completar enquanto se move a uma velocidade constante.

Raciocínio semelhante se aplicaria se Zenão tivesse feito as suposições (2) ou (3) acima sobre não haver tempo suficiente para Aquiles ou haver muitos lugares para ele correr. Quanto à suposição (4), a exigência de Zenão de que haja uma etapa final ou um subcaminho final na corrida de Aquiles está simplesmente equivocada — de acordo com a Solução Padrão. (Mais será dito sobre a suposição (5) na Seção 5c, quando discutirmos supertarefas.)

Na época de Zenão, como os matemáticos só conseguiam compreender a soma de um número finito de distâncias, foi genial a ideia de Aristóteles afirmar que Aquiles percorria apenas uma infinidade potencial de distâncias, e não uma infinidade real, visto que a soma de uma infinidade potencial é um número finito em qualquer instante; assim, Aquiles poderia, nesse sentido, realizar uma infinidade de tarefas enquanto percorria uma distância finita em um tempo finito. Quando Aristóteles fez essa afirmação e a utilizou para tratar os paradoxos de Zenão, não havia solução melhor para o Paradoxo de Aquiles, e uma solução melhor só seria descoberta muitos séculos depois. Na época de Zenão, ninguém tinha uma noção clara de espaço contínuo, nem do limite de uma série infinita, nem mesmo do zero.

O Argumento de Aquiles, se fortalecido e não deixado tão vago quanto na época de Zenão, pressupõe que o espaço e o tempo são contínuos ou infinitamente divisíveis. Assim, a conclusão de Zenão poderia ter afirmado, com mais cautela, que Aquiles não consegue alcançar a tartaruga se o espaço e o tempo forem infinitamente divisíveis no sentido de infinito absoluto. Talvez, como alguns comentaristas especularam, Zenão tenha usado, ou deveria ter usado, o Paradoxo de Aquiles apenas para atacar o espaço contínuo, e tenha usado, ou deveria ter usado, seus outros paradoxos, como o da “Flecha” e o das “Filas Móveis”, para atacar o espaço discreto.

ii. A Dicotomia (A Pista de Corrida)

Como Aristóteles percebeu, o Paradoxo da Dicotomia é apenas o Paradoxo de Aquiles, no qual Aquiles permanece parado à frente da tartaruga. Em seu Paradoxo da Dicotomia Progressiva, Zenão argumentou que um corredor jamais alcançará a linha de chegada fixa em uma pista reta. A razão é que o corredor precisa primeiro percorrer metade da distância até a linha de chegada, mas, ao chegar lá, ainda precisa percorrer metade da distância restante até a linha de chegada, e, tendo feito isso, precisa percorrer metade do novo trecho restante, e assim por diante. Se a linha de chegada estiver a um metro de distância, o corredor precisa percorrer 1/2 metro, depois 1/4 metro, depois 1/8 metro, e assim por diante, ad infinitum. O corredor não consegue alcançar a linha de chegada final, diz Zenão. Por quê? Há poucos vestígios do raciocínio de Zenão aqui, mas, para reconstruções que apresentem o raciocínio mais forte, podemos dizer que o corredor não alcançará a linha de chegada final porque a distância a percorrer é muito grande, a soma é, na verdade, infinita. A Solução Padrão argumenta, em vez disso, que a soma dessa série geométrica infinita é um, e não infinito.

O problema do corredor alcançar a meta pode ser visto sob uma perspectiva diferente. De acordo com a versão regressiva do Paradoxo da Dicotomia, o corredor sequer consegue dar o primeiro passo. Eis o porquê: qualquer passo pode ser dividido conceitualmente em uma primeira metade e uma segunda metade. Antes de dar um passo completo, o corredor precisa dar meio passo, mas antes disso, precisa dar um quarto de passo, e antes disso, um oitavo de passo, e assim por diante, ad infinitum, de modo que Aquiles jamais conseguirá se mover. Assim como o Paradoxo de Aquiles, este paradoxo também conclui que qualquer movimento é impossível.

O paradoxo da dicotomia, tanto na sua versão progressiva quanto na regressiva, assume aqui, por simplicidade e para fortalecer a argumentação, que as posições dos corredores são pontos. Os corredores reais ocupam um volume maior, mas a suposição de pontos não é controversa, pois Zenão poderia ter reconstruído seu paradoxo falando dos pontos ocupados, por exemplo, pela ponta do nariz do corredor ou pelo centro de sua massa, e essa suposição resulta em um paradoxo mais claro e forte.

No Paradoxo da Dicotomia, o corredor alcança os pontos 1/2, 3/4, 7/8 e assim por diante em seu caminho até a linha de chegada. Porém, sob a influência de Bolzano, Dedekind e Cantor, que desenvolveram a primeira teoria dos conjuntos, o conjunto desses pontos não é mais considerado potencialmente infinito. Trata-se de um conjunto de pontos efetivamente infinito, abstraído de um contínuo de pontos, no qual a palavra "contínuo" é usada no sentido do final do século XIX, que está no cerne do cálculo. E qualquer ideia antiga de que a soma da série infinita de comprimentos ou segmentos de trajetória 1/2 + 1/4 + 1/8 + … seja infinita agora precisa ser rejeitada em favor da teoria de que a soma converge para 1. Isso é fundamental para resolver o Paradoxo da Dicotomia de acordo com a Solução Padrão. É basicamente o mesmo tratamento dado ao Paradoxo de Aquiles. O Paradoxo da Dicotomia foi chamado de "O Estádio" por alguns comentaristas, mas esse nome também é comumente usado para o Paradoxo das Fileiras Móveis, portanto, os leitores precisam estar atentos à ambiguidade na literatura.

Aristóteles, em Física Z9, disse sobre a Dicotomia que é possível a um corredor entrar em contato com um número potencialmente infinito de coisas em um tempo finito, desde que os intervalos de tempo se tornem cada vez menores. Aristóteles afirmou que Zenão assumiu que isso era impossível, e esse é um dos seus erros na Dicotomia. No entanto, Aristóteles apenas afirmou isso e não pôde fornecer uma teoria detalhada que permitisse o cálculo da quantidade finita de tempo. Portanto, Aristóteles não pôde realmente defender seu diagnóstico do erro de Zenão. Hoje, o cálculo é usado para fornecer a Solução Padrão com essa teoria detalhada.

Há outro detalhe da dicotomia que precisa ser resolvido. Como o corredor de Zenão completa a jornada se não há um passo final ou um último elemento na sequência infinita de etapas (intervalos e objetivos)? As jornadas não precisam de passos finais? A Solução Padrão responde "não" e afirma que a resposta intuitiva "sim" é uma das muitas intuições compartilhadas por Zenão, Aristóteles e pela pessoa comum hoje em dia que devem ser rejeitadas ao se adotar a Solução Padrão.

iii. A Flecha

O Paradoxo da Flecha de Zenão adota uma abordagem diferente para desafiar a coerência dos nossos conceitos de senso comum sobre tempo e movimento. Pense em como você distinguiria uma flecha estacionária no espaço de uma flecha em movimento, considerando que você observasse apenas um instantâneo (uma foto instantânea) das duas situações. Haveria alguma diferença? Não, e como em qualquer instante de qualquer período de tempo a flecha não se move, ela nunca se move.

Como explica Aristóteles, partindo da premissa de Zenão de que o tempo é composto de momentos, uma flecha em movimento deve ocupar um espaço igual a si mesma em cada instante. Ou seja, em qualquer momento ou instante indivisível, ela está no mesmo lugar. Mas os lugares não se movem. Portanto, se em cada instante a flecha ocupa um espaço igual a si mesma, então a flecha não se move nesse instante. A razão pela qual ela não se move é que não há tempo suficiente para se mover; ela simplesmente está ali, no mesmo lugar. Ela não pode se mover durante o instante porque não há tempo suficiente para qualquer movimento, e o instante é indivisível. O mesmo raciocínio se aplica a qualquer outro momento durante o chamado "voo" da flecha. Assim, a flecha nunca se move. Por um argumento semelhante, Zenão pode estabelecer que nada mais se move. A fonte do argumento de Zenão é Aristóteles ( Física , Livro VI, capítulo 5, 239b5-32).

A solução padrão para o paradoxo da flecha nega a premissa de Zenão de que, se você ocupa uma posição igual ao seu comprimento, você não está se movendo, e nega também a existência de movimento instantâneo. A solução se baseia, em vez disso, na noção de velocidade do cálculo. Essa teoria define movimento instantâneo, ou seja, movimento em um instante, sem definir movimento durante um instante. Essa nova abordagem do movimento teve origem com Newton e Leibniz no século XVI e emprega o que se chama de teoria do movimento "em-em", que afirma que movimento é estar em lugares diferentes em momentos diferentes. O movimento não é uma característica que se revela apenas em um instante. A diferença moderna entre repouso e movimento, em oposição à diferença antiga, tem a ver com o que está acontecendo em momentos próximos e — contrariamente a Zenão — nada tem a ver com o que está acontecendo durante um instante.

Alguns pesquisadores especularam que o Paradoxo da Flecha foi concebido por Zenão para atacar o tempo e o espaço discretos, em vez do tempo e espaço contínuos. Isso não é claro, e a Solução Padrão funciona para ambos os casos. Ou seja, independentemente de o tempo ser contínuo e o instante de Zenão não ter duração finita, ou de o tempo ser discreto e o instante de Zenão durar, digamos, 10⁻⁴⁴ segundos, não há tempo suficiente para a flecha se mover durante esse instante. Contudo, independentemente da duração do instante, ainda pode haver movimento instantâneo, isto é, movimento naquele instante, desde que o objeto esteja em um lugar diferente em algum outro instante.

Para reforçar este ponto crucial, observe que tanto Zenão quanto os físicos matemáticos do século XXI concordam que a flecha não pode estar em movimento dentro ou durante um instante (um tempo instantâneo), mas os físicos apontarão que a flecha pode estar em movimento em um instante, no sentido de ter uma velocidade positiva nesse instante (sua chamada velocidade instantânea), desde que a flecha ocupe posições diferentes em momentos anteriores ou posteriores a esse instante, de modo que o instante faça parte de um período no qual a flecha está continuamente em movimento. Se não prestarmos atenção ao que acontece em instantes próximos, é impossível distinguir movimento instantâneo de repouso instantâneo, mas distinguir os dois é a solução para o Paradoxo da Flecha. Zenão teria rejeitado a ideia de movimento em um instante, e Aristóteles a negou explicitamente.

O Paradoxo da Flecha é refutado pela Solução Padrão com sua nova teoria do movimento "no instante", mas o paradoxo parece especialmente forte para alguém que preferiria dizer que o movimento é uma propriedade intrínseca de um instante, sendo alguma propensão ou disposição para estar em outro lugar.

Vamos reconsiderar os detalhes da Solução Padrão, assumindo movimento contínuo em vez de movimento discreto. Em cálculo, a velocidade de um objeto em um instante (sua velocidade instantânea) é a derivada temporal da posição do objeto; isso significa que a velocidade do objeto é o limite de sua série de velocidades médias durante intervalos de tempo cada vez menores que contêm o instante. Fazemos essencialmente a mesma observação quando dizemos que a velocidade do objeto é o limite de sua velocidade média em um intervalo, à medida que o comprimento do intervalo tende a zero. A derivada da posição da flecha x em relação ao tempo t , ou seja, dx/dt , é a velocidade instantânea da flecha e possui valores diferentes de zero em pontos específicos e em instantes específicos durante o voo da flecha, contrariando Zenão e Aristóteles. A velocidade durante um instante ou em um instante, que é o que Zenão defende, seria 0/0 e é indefinida. Mas a velocidade em um instante é bem definida. Se exigirmos o uso desses conceitos modernos, Zenão não conseguirá produzir uma contradição como tenta fazer ao assumir que a velocidade da flecha é zero a cada instante — porque ela não é zero. Portanto, os defensores da Solução Padrão concluem que o Paradoxo da Flecha de Zenão contém uma premissa falsa, porém crucial, e, por isso, é falacioso.

Independentemente de Zenão, o Paradoxo da Flecha foi descoberto pelo dialético chinês Kung-sun Lung (Gongsun Long, c. 325–250 a.C.). Uma questão filosófica persistente sobre o paradoxo da flecha é se existe uma maneira de refutar adequadamente o argumento de Zenão de que o movimento é impossível sem usar o aparato do cálculo.

iv. As fileiras móveis (O estádio)

Segundo Aristóteles ( Física, Livro VI, capítulo 9, 239b33-240a18), Zenão tentou criar um paradoxo considerando corpos (isto é, objetos físicos) de igual comprimento alinhados em três fileiras paralelas dentro de um estádio. Uma fileira contém corpos A (três corpos A são mostrados abaixo); outra contém corpos B; e uma terceira contém corpos C. Cada corpo está à mesma distância de seus vizinhos ao longo de sua fileira. Os corpos A estão estacionários. Os corpos B estão se movendo para a direita e os corpos C estão se movendo com a mesma velocidade para a esquerda. Aqui estão duas imagens da situação, antes e depois. Elas foram tiradas com um intervalo de um instante.

Zeno destaca que, no intervalo de tempo entre a foto anterior e a foto posterior, o C mais à esquerda ultrapassa dois Bs, mas apenas um A, contradizendo sua suposição (muito controversa) de que o C deveria levar mais tempo para ultrapassar dois Bs do que um A. A solução usual para esse paradoxo é rejeitar essa suposição controversa.

Aristóteles argumenta que o tempo necessário para ultrapassar um corpo depende da velocidade do corpo; por exemplo, se o corpo estiver vindo em sua direção, você poderá ultrapassá-lo em menos tempo do que se ele estiver parado. Os analistas atuais concordam com o diagnóstico de Aristóteles e, historicamente, esse paradoxo do movimento pareceu mais fraco do que os três anteriores. Esse paradoxo foi chamado de "O Paradoxo do Estádio", mas ocasionalmente também é conhecido como o Paradoxo da Dicotomia.

Alguns analistas, por exemplo Tannery (1887), acreditam que Zenão pode ter tido em mente que o paradoxo deveria ter assumido que tanto o espaço quanto o tempo são discretos (quantizados, atomizados) em oposição a contínuos, e Zenão pretendia que seu argumento desafiasse a coerência da ideia de espaço e tempo discretos.

Bem, o paradoxo poderia ser interpretado desta forma. Suponha que os três objetos A, B e C estejam adjacentes uns aos outros em suas trajetórias, e que cada corpo A, B e C ocupe um espaço com o comprimento de um átomo. Então, se todo o movimento ocorre à taxa de um átomo de espaço em um átomo de tempo, o objeto C mais à esquerda passaria por dois átomos de espaço B no tempo que levaria para passar por um átomo de espaço A, o que contradiz nossa suposição sobre as taxas. Há outra consequência paradoxal. Observe o espaço ocupado pelo objeto C à esquerda. Durante o instante do movimento, ele passa pelo objeto B do meio, mas não há nenhum instante em que eles estejam adjacentes, o que é estranho.

Assim, o argumento de Zenão pode ser interpretado como um desafio à ideia de que espaço e tempo são discretos. No entanto, a maioria dos comentadores suspeita que o próprio Zenão não interpretou seu paradoxo dessa maneira.

b. Paradoxos da Pluralidade

Os paradoxos do movimento de Zenão são ataques à crença comum de que o movimento é real, mas, como o movimento é uma espécie de pluralidade, ou seja, um processo que ocorre em uma pluralidade de lugares e em uma pluralidade de tempos, eles também são ataques a esse tipo de pluralidade. Zenão ofereceu ataques mais diretos a todos os tipos de pluralidade. O primeiro deles é o seu Paradoxo dos Semelhantes e dos Diferentes.

i. Semelhanças e diferenças

Segundo Platão em Parmênides 127-9, Zenão argumentou que a suposição da pluralidade – a suposição de que existem muitas coisas – leva a uma contradição. Ele cita Zenão dizendo: “Se as coisas são muitas, [...] elas devem ser semelhantes e diferentes. Mas isso é impossível; coisas diferentes não podem ser semelhantes, nem coisas semelhantes diferentes” (Hamilton e Cairns (1961), 922).

A questão de Zenão é a seguinte. Considere uma pluralidade de coisas, como algumas pessoas e algumas montanhas. Essas coisas têm em comum a propriedade de serem pesadas. Mas se todas elas têm essa propriedade em comum, então elas são, na verdade, todas do mesmo tipo de coisa e, portanto, não constituem uma pluralidade. Elas são uma só. Por meio desse raciocínio, Zenão acredita ter demonstrado que a pluralidade é uma só (ou que o múltiplo não é múltiplo), o que é uma contradição. Portanto, por redução ao absurdo, não existe pluralidade, como Parmênides sempre afirmou.

Platão acusa imediatamente Zenão de tergiversar. Uma coisa pode ser semelhante a outra em um aspecto, mas diferente em outro. Ter uma propriedade em comum com outra coisa não torna você idêntico a essa outra coisa. Considere novamente nossa pluralidade de pessoas e montanhas. Pessoas e montanhas são semelhantes por serem pesadas, mas diferentes em inteligência. E são diferentes por serem montanhas; as montanhas são montanhas, mas as pessoas não são. Como diz Platão, quando Zenão tenta concluir “que a mesma coisa é muitas e uma, diremos [em vez disso] que o que ele está provando é que algo é muitos e um [em diferentes aspectos], não que a unidade seja muitos ou que a pluralidade seja uma…”. [129d] Portanto, não há contradição, e o paradoxo é resolvido por Platão. Este paradoxo é geralmente considerado um dos paradoxos mais fracos de Zenão e hoje raramente é discutido. [Ver Rescher (2001), pp. 94-6 para alguma discussão.]

ii. Limitado e Ilimitado

Esse paradoxo também é chamado de Paradoxo da Densidade. Suponha que existam muitas coisas em vez de, como diria Parmênides, apenas uma. Então haverá um número definido e fixo dessas muitas coisas, e, portanto, elas serão “limitadas”. O limite pode ser um número muito grande, mas ainda assim é um limite. Por outro lado, se houver muitas coisas, digamos apenas duas, então elas devem ser distintas, e para mantê-las distintas deve haver uma terceira coisa separando-as, argumenta Zenão. Então, existem três coisas. Mas entre elas… Em outras palavras, as coisas são densas e não há um número definido ou fixo delas, então elas serão “ilimitadas”. Isso é uma contradição, porque a pluralidade seria ao mesmo tempo limitada e ilimitada. Portanto, não há pluralidades; existe apenas uma coisa, não muitas coisas. Os historiadores geralmente concordam que esse argumento foi apresentado em uma citação completa de Zenão no século VI por Simplício em seu comentário sobre o livro 1 da Física de Aristóteles.

De acordo com a Solução Padrão para esse paradoxo, a fragilidade do argumento de Zenão reside na suposição de que “para mantê-los distintos, deve haver uma terceira coisa separando-os”. Zenão estaria correto ao afirmar que, entre quaisquer dois objetos físicos separados no espaço, existe um terceiro lugar, pois o espaço é denso no sentido matemático de densidade, mas ele se equivoca ao afirmar que um lugar é um terceiro objeto físico entre os dois, como fez. Pode não haver nenhum objeto entre os dois objetos que estão em lugares diferentes.

O termo “objeto” precisa ser usado com muita cautela em discussões filosóficas. No sentido atual do termo “objeto”, Aristóteles se qualificaria como um objeto, mas se ele se movesse de um lugar para outro, isso não significaria que agora temos dois Aristóteles, nem que existe um terceiro objeto entre os dois. O lugar onde um objeto está localizado não é considerado uma propriedade inerente do objeto, mas apenas uma propriedade relacional. Os objetos são caracterizados por suas propriedades inerentes. Se um objeto possui duas propriedades relacionais, digamos, a propriedade de ser admirado por Aristóteles e não admirado por Platão, não dizemos que isso significa que o objeto foi duplicado.

iii. Grandes e pequenos

Suponha que existam muitas coisas em vez de, como diz Parmênides, apenas uma. Então, cada parte de qualquer pluralidade é tão pequena a ponto de não ter tamanho, mas também tão grande a ponto de ser infinita, diz Zenão. Seu raciocínio para explicar por que elas não têm tamanho se perdeu, mas muitos comentadores sugerem que ele raciocinaria da seguinte maneira: se existe uma pluralidade, então ela deve ser composta de partes que não são elas mesmas pluralidades. Ora, coisas que não são pluralidades não podem ter tamanho, ou então seriam divisíveis em partes e, portanto, seriam elas mesmas pluralidades.

Então, por que as partes de uma pluralidade são tão grandes a ponto de serem infinitas? Bem, as partes não podem ser tão pequenas a ponto de não terem tamanho, já que a soma de tais coisas nunca contribuiria em nada para o todo em termos de tamanho. Portanto, as partes têm algum tamanho diferente de zero. Se assim for, cada uma dessas partes terá duas subpartes espacialmente distintas, uma na frente da outra. Cada uma dessas subpartes também terá um tamanho. A parte da frente, sendo uma coisa, terá suas próprias duas subpartes espacialmente distintas, uma na frente da outra; e essas duas subpartes terão tamanhos. O mesmo vale para a parte de trás. E assim por diante, indefinidamente. A soma de todas essas subpartes seria infinita. Portanto, cada parte de uma pluralidade será tão grande a ponto de ser infinita.

Essa reconstrução simpática do argumento é baseada na obra " Sobre a Física de Aristóteles " , de Simplício, onde Simplício cita as próprias palavras de Zenão para parte do paradoxo, embora não diga de onde está citando.

Há muitos erros no raciocínio de Zenão, segundo a Solução Padrão. Ele se equivoca logo no início ao afirmar: “Se existe uma pluralidade, então ela deve ser composta de partes que não são elas mesmas pluralidades”. Uma universidade é um contraexemplo ilustrativo. Uma universidade é uma pluralidade de estudantes, mas não precisamos descartar a possibilidade de que um estudante seja uma pluralidade. O que é um todo e o que é uma pluralidade depende de nossos objetivos. 

Quando consideramos uma universidade como uma pluralidade de estudantes, consideramos os estudantes como totalidades sem partes. Mas, para outro propósito, poderíamos querer dizer que um estudante é uma pluralidade de células biológicas. Zenão se confunde com essa noção de relatividade e com o raciocínio parte-todo; e, à medida que os comentadores começaram a perceber isso, perderam o interesse em Zenão como participante do grande debate metafísico entre pluralismo e monismo.

Um segundo erro ocorre ao argumentar que cada parte de uma pluralidade deve ter uma dimensão diferente de zero. A noção contemporânea de medida (desenvolvida no século XX por Brouwer, Lebesgue e outros) mostrou como definir corretamente a função de medida de modo que um segmento de reta tenha medida diferente de zero, mesmo que (o conjunto unitário de) qualquer ponto tenha medida zero. A medida do segmento de reta [a, b] é b – a; a medida de um cubo com aresta a é a³ . Essa teoria da medida é agora utilizada adequadamente pela nossa civilização para comprimento, volume, duração, massa, voltagem, brilho e outras grandezas contínuas.

Graças ao apoio de Aristóteles, os Paradoxos do Grande e do Pequeno e da Divisibilidade Infinita de Zenão (que serão discutidos adiante) eram geralmente considerados como prova de que uma grandeza contínua não pode ser composta de pontos. O interesse por esse tema foi reacendido no século XVIII. Os objetos físicos da mecânica clássica de Newton, de 1726, foram interpretados por R.J. Boscovich, em 1763, como coleções de massas pontuais. Cada massa pontual é um ponto móvel que carrega uma massa fixa. Essa idealização de corpos contínuos como se fossem composições de partículas pontuais foi muito frutífera; ela podia ser usada para resolver facilmente problemas de física que, de outra forma, seriam muito difíceis. Esse sucesso levou cientistas, matemáticos e filósofos a reconhecerem que a força dos Paradoxos do Grande e do Pequeno e da Divisibilidade Infinita de Zenão havia sido superestimada; eles não impediam que uma grandeza contínua fosse composta de pontos.

iv. Divisibilidade Infinita

Este é o mais desafiador de todos os paradoxos da pluralidade. Considere as dificuldades que surgem se assumirmos que um objeto pode, teoricamente, ser dividido em uma pluralidade de partes. Segundo Zenão, existe um problema de remontagem. Imagine cortar o objeto em duas partes não sobrepostas, depois cortar essas partes em partes menores, e assim por diante, até que o processo de divisão repetida esteja completo. Supondo que a divisão hipotética seja “exaustiva” ou chegue ao fim, então, ao final, chegamos ao que Zenão chama de “elementos”. Aqui reside um problema de remontagem. Existem três possibilidades: (1) Os elementos são nada. Nesse caso, os objetos originais serão uma composição de nada, e, portanto, o objeto inteiro será uma mera aparência, o que é absurdo. (2) Os elementos são algo, mas têm tamanho zero. Assim, o objeto original é composto de elementos de tamanho zero. A soma de infinitos zeros resulta em zero, portanto, o objeto original não tinha tamanho, o que é absurdo. (3) Os elementos são algo, mas não têm tamanho zero. Nesse caso, essas partes poderiam ser subdivididas, e o processo de divisão não estaria completo, o que contradiz nossa suposição de que o processo já estava completo. Em resumo, havia três possibilidades, mas todas as três levam a um absurdo. Portanto, os objetos não são divisíveis em uma pluralidade de partes.

Simplício afirma que esse argumento se deve a Zenão, embora esteja presente em Aristóteles ( Sobre a Geração e a Corrupção , 316a15-34, 316b34 e 325a8-12) e não seja atribuído a Zenão, o que é estranho. Aristóteles diz que o argumento convenceu os atomistas a rejeitarem a divisibilidade infinita. O argumento é conhecido como o Paradoxo das Partes e do Todo, mas não possui um nome tradicional.

A Solução Padrão diz que primeiro devemos pedir a Zenão que seja mais claro sobre o que ele está dividindo. É algo concreto ou abstrato? Ao dividir um bastão concreto e material em seus componentes, chegamos aos constituintes fundamentais da matéria, como quarks e elétrons, que não podem ser divididos ainda mais. Estes têm um tamanho, um tamanho zero (de acordo com a eletrodinâmica quântica), mas é incorreto concluir que o bastão inteiro não tem tamanho se seus constituintes têm tamanho zero. [Devido às forças envolvidas, partículas pontuais têm "seções transversais" finitas, e configurações dessas partículas, como átomos, têm tamanho finito.] Portanto, Zenão está errado aqui. Por outro lado, Zenão está dividindo um caminho ou trajetória abstrata ? Vamos supor que sim, já que isso produz um paradoxo mais desafiador. Nesse caso, a opção (2) acima é a que devemos considerar. É a que fala sobre a adição de zeros. Vamos supor que o objeto seja unidimensional, como um caminho. De acordo com a Solução Padrão, esse “objeto” que é dividido deve ser considerado um contínuo com seus elementos organizados na ordem do contínuo linear, e devemos usar a noção contemporânea de medida para encontrar o tamanho do objeto. O tamanho (comprimento, medida) de um elemento pontual é zero, mas Zenão está errado ao afirmar que o tamanho total (comprimento, medida) de todos os elementos de tamanho zero é zero. O tamanho do objeto é determinado, em vez disso, pela diferença nos números de coordenadas atribuídos aos pontos extremos do objeto. Um objeto que se estende ao longo de uma linha reta, com um de seus pontos extremos a um metro da origem e o outro a três metros da origem, tem um tamanho de dois metros e não zero metros. Portanto, não há problema de remontagem, e uma etapa crucial no argumento de Zenão falha.

c. Outros paradoxos

i. O Grão de Milho-miúdo

Existem duas interpretações comuns para esse paradoxo. Segundo a primeira, que é a interpretação padrão, quando um alqueire de grãos de milho-miúdo (ou trigo) cai do recipiente e se espatifa no chão, ele produz um som. Como o alqueire é composto de grãos individuais, cada grão individual também produz um som, assim como cada milésimo do grão, e assim por diante até as partes finais. Mas esse resultado contradiz o fato de que, na realidade, não ouvimos nenhum som para porções como um milésimo de um grão, e, portanto, certamente não ouviríamos nenhum som para uma parte final de um grão. Contudo, como o alqueire pode produzir um som se nenhuma de suas partes finais produz som? A fonte original desse argumento é a Física de Aristóteles, Livro VII, capítulo 4, 250a19-21. Parece haver um apelo à regra iterativa de que, se um milho-miúdo ou uma parte de milho-miúdo produz um som, então uma parte imediatamente menor também deveria produzir.

Não temos as palavras de Zenão sobre a conclusão que devemos tirar disso. Talvez ele concluísse que é um erro supor que alqueires inteiros de painço contenham partes de painço. Isso é um ataque à pluralidade.

A solução padrão para essa interpretação do paradoxo acusa Zenão de assumir erroneamente que não há limite inferior para o tamanho de algo que possa produzir um som. Não há problema, argumentamos agora, em partes possuírem propriedades muito diferentes dos todos que as constituem. A regra iterativa é inicialmente plausível, mas, em última análise, não confiável, e Zenão comete tanto a falácia da divisão quanto a falácia da composição.

Alguns analistas interpretam o paradoxo de Zenão de uma segunda maneira, como um desafio à nossa confiança na audição, da seguinte forma: quando um feixe de grãos de painço cai no chão, produz um som. O feixe é composto de grãos individuais, que também produzem um som audível. Mas se você deixar cair um grão de painço individual, ou uma pequena parte dele, ou uma parte ainda menor, sua audição eventualmente não detectará som algum, embora haja um som. Portanto, você não pode confiar na sua audição.

Esse raciocínio sobre nossa incapacidade de detectar sons de baixa amplitude é semelhante ao erro de argumentar que não se pode confiar em um termômetro porque existem faixas de temperatura às quais ele não é sensível. Portanto, nessa segunda interpretação, o paradoxo também é fácil de resolver. Uma das razões apresentadas na literatura para acreditar que essa segunda interpretação não é a que Zenão tinha em mente é que a crítica de Aristóteles, apresentada abaixo, aplica-se à primeira interpretação e não à segunda, e é improvável que Aristóteles tenha interpretado o paradoxo erroneamente.

ii. Contra o Lugar

Dado um objeto, podemos assumir que existe uma única resposta correta para a pergunta: "Qual é o seu lugar?". Porque tudo o que existe tem um lugar, e como o próprio lugar existe, então ele também deve ter um lugar, e assim por diante, indefinidamente. Isso resulta em lugares demais, o que gera uma contradição. A fonte original é a Física de Aristóteles (209a23-25 ​​e 210b22-24).

A resposta padrão ao Paradoxo de Zenão contra o Lugar é negar que os lugares tenham lugares e apontar que a noção de lugar deve ser relativa ao referencial. Mas a suposição de Zenão de que os lugares têm lugares era comum na Grécia Antiga, e Zenão deve ser elogiado por demonstrar que essa suposição é falha.

4. O tratamento dos paradoxos por Aristóteles

As opiniões de Aristóteles sobre os paradoxos de Zenão podem ser encontradas em sua obra Física , livro 4, capítulo 2, e livro 6, capítulos 2 e 9. No que diz respeito ao Paradoxo da Dicotomia, Aristóteles deve ser elogiado por sua percepção de que Aquiles tem tempo para alcançar seu objetivo porque, durante a corrida, caminhos cada vez mais curtos levam tempos correspondentemente cada vez mais curtos.

Aristóteles tinha várias críticas a Zenão. Em relação aos paradoxos do movimento, ele argumentou que Zenão não deveria supor que a trajetória do corredor depende de suas partes; em vez disso, a trajetória já existe primeiro, e as partes são construídas pelo analista. Sua segunda crítica era que Zenão não deveria supor que as linhas contêm pontos indivisíveis. A terceira e mais influente ideia crítica de Aristóteles envolve uma queixa sobre o infinito potencial. Sobre esse ponto, ao comentar o Paradoxo de Aquiles, Aristóteles disse: “O argumento de Zenão faz uma suposição falsa ao afirmar que é impossível uma coisa passar por cima de… infinitas coisas em um tempo finito”. Aristóteles acreditava ser impossível uma coisa passar por cima de um número realmente infinito de coisas em um tempo finito, mas acreditava ser possível que uma coisa passasse por cima de um número potencialmente infinito de coisas em um tempo finito. Eis como Aristóteles expressou esse ponto:

Para o movimento…, embora o contínuo contenha um número infinito de metades, estas não são metades reais, mas potenciais. ( Física 263a25-27). …Portanto, à questão de saber se é possível atravessar um número infinito de unidades, seja de tempo ou de distância, devemos responder que, em certo sentido, é possível e, em certo sentido, não. Se as unidades forem reais, não é possível; se forem potenciais, é possível. (Física 263b2-5).

Aristóteles negou a existência do infinito atual tanto no mundo físico quanto na matemática, mas aceitou infinitos potenciais. Ao chamá-los de infinitos potenciais, ele não queria dizer que eles têm o potencial de se tornarem realmente infinitos; infinito potencial é um termo técnico que sugere um processo que ainda não foi concluído. O termo infinito atual não implica ser atual ou real. Implica ser completo, sem dependência de algum processo no tempo.

UMA infinitude potencial é uma iteração ilimitada de alguma operação — ilimitada no tempo. Aristóteles afirmou corretamente que, se Zenão não tivesse usado o conceito de infinitude atual e de ponto indivisível, os paradoxos do movimento, como o Paradoxo de Aquiles (e o Paradoxo da Dicotomia), não poderiam ter sido criados.

Eis por que essa abordagem é uma saída para esses paradoxos. Zenão disse que, para ir do início ao fim, o corredor Aquiles precisa chegar ao ponto que corresponde à metade do caminho; depois de chegar a esse ponto, ele ainda precisa chegar ao ponto que corresponde à metade da distância restante; e, após chegar lá, ele precisa novamente chegar ao novo ponto que agora corresponde à metade do caminho até a linha de chegada, e assim por diante. 

São muitos pontos a serem alcançados. Zenão cometeu o erro, segundo Aristóteles, de supor que esse processo infinito precisa ser completado quando, na verdade, não precisa e não pode ser completado; o caminho finito do início ao fim existe indivisível para o corredor, e é o matemático quem exige a conclusão de tal processo. Sem usar esse conceito de infinito completo, não há paradoxo. Aristóteles está correto ao afirmar que essa abordagem evita o paradoxo.

Aristóteles e Zenão discordam sobre a natureza da divisão do caminho de um corredor. A objeção de Aristóteles pode ser expressa sucintamente da seguinte maneira: Zenão estava correto ao supor que, a qualquer momento, o caminho de um corredor pode ser dividido em qualquer ponto, mas incorreto ao supor que o caminho pode ser dividido em todos os pontos ao mesmo tempo.

A abordagem padrão atual do paradoxo de Aquiles discorda da solução proposta por Aristóteles e afirma que Zenão estava correto ao usar o conceito de infinito completo, ao inferir que o corredor deve ir a um infinito real de lugares em um tempo finito e ao supor que o percurso do corredor pode ser dividido em todos os lugares ao mesmo tempo.

Pelo que Aristóteles diz, podemos inferir nas entrelinhas que ele acreditava haver outra razão para rejeitar os infinitos atuais: fazê-lo seria a única saída para esses paradoxos do movimento. Hoje sabemos que não é bem assim. Existe outra saída, a saber, a Solução Padrão que utiliza infinitos atuais, os quais são analisáveis ​​em termos dos conjuntos transfinitos de Cantor.

A abordagem de Aristóteles, ao rejeitar o infinito atual e permitir o infinito potencial, foi engenhosa e satisfez quase todos os estudiosos por 1.500 anos, sendo sustentada, durante esse período, pela doutrina da Igreja de que somente Deus é verdadeiramente infinito. George Berkeley, Immanuel Kant, Carl Friedrich Gauss e Henri Poincaré foram defensores influentes do infinito potencial. Leibniz aceitou os infinitesimais atuais, mas outros matemáticos e físicos em universidades europeias durante esses séculos tiveram o cuidado de distinguir entre infinitos atuais e potenciais e de evitar o uso de infinitos atuais.

Após 1.500 anos de oposição à ideia de infinitos reais, o ônus da prova recaía sobre quem os defendesse. Bernard Bolzano e Georg Cantor aceitaram esse ônus no século XIX. A ideia central é conceber um conjunto potencialmente infinito como uma quantidade variável que depende da abstração de um conjunto preexistente, de fato infinito. Bolzano argumentou que os números naturais deveriam ser concebidos como um conjunto, um conjunto determinado, e não como um conjunto com um número variável de elementos. Cantor, por sua vez, argumentou que qualquer infinito potencial deve ser interpretado como variando sobre um conjunto fixo predefinido de valores possíveis, um conjunto que é de fato infinito. Ele expressou isso da seguinte maneira:

"Para que haja uma grandeza variável em algum estudo matemático, o “domínio” de sua variabilidade deve, estritamente falando, ser conhecido de antemão por meio de uma definição. No entanto, esse domínio não pode ser ele próprio algo variável… Assim, esse “domínio” é um conjunto definido, na verdade infinito, de valores. Portanto, cada infinito potencial… pressupõe um infinito atual. (Cantor 1887)

Deste ponto de vista, o axioma da continuidade de Dedekind, de 1872, e sua definição de números reais como certos subconjuntos infinitos de números racionais sugeriram a Cantor e, posteriormente, a muitos outros matemáticos, que conjuntos arbitrariamente grandes de números racionais são naturalmente vistos como subconjuntos de um conjunto verdadeiramente infinito de números racionais. O mesmo pode ser dito para conjuntos de números reais. Um conjunto verdadeiramente infinito é o que hoje chamamos de "conjunto transfinito". A ideia de Cantor é, então, tratar um conjunto potencialmente infinito como uma sequência de subconjuntos definidos de um conjunto transfinito. Aristóteles havia dito que os matemáticos precisam apenas do conceito de uma linha reta finita que pode ser prolongada até onde quiserem, ou dividida tão finamente quanto desejarem, mas Cantor diria que essa maneira de pensar pressupõe um contínuo infinito completo do qual essa linha finita é abstraída em qualquer momento específico.

[Quando Cantor afirma que o conceito matemático de infinito potencial pressupõe o conceito matemático de infinito atual, isso não implica que, se o tempo futuro fosse potencialmente infinito, então o tempo futuro também seria realmente infinito.]

A principal contribuição de Dedekind para o nosso tema foi fornecer a primeira definição rigorosa de conjunto infinito — um infinito real — demonstrando que a noção é útil e não autocontraditória. Cantor forneceu o ingrediente que faltava: a reta matemática pode ser tratada de forma proveitosa como uma ordenação linear densa de uma quantidade incontável de pontos. Ele então desenvolveu a teoria dos conjuntos e deu ao contínuo uma base teórica que convenceu os matemáticos de que o conceito estava rigorosamente definido.

Essas ideias agora formam a base da análise real moderna. A implicação para os paradoxos de Aquiles e da Dicotomia é que, uma vez estabelecida a definição rigorosa de um contínuo linear e uma vez que tenhamos a teoria rigorosa de Cauchy sobre como avaliar o valor de uma série infinita, podemos apontar para o uso bem-sucedido do cálculo na física, especialmente no tratamento do tempo e do movimento no espaço, e afirmar que a sequência de intervalos ou trajetórias descrita por Zenão é mais apropriadamente tratada como uma sequência de subconjuntos de um conjunto verdadeiramente infinito [isto é, a potencial infinidade de lugares que Aquiles alcança, segundo Aristóteles, é na verdade um subconjunto variável de um conjunto já existente e verdadeiramente infinito de pontos], e podemos ter certeza de que o tratamento dos paradoxos por Aristóteles é inferior ao da Solução Padrão.

Zenão afirmou que Aquiles não pode atingir seu objetivo em um tempo finito, mas não há registro dos detalhes de como ele defendeu essa conclusão. Ele poderia ter dito que a razão é (i) que não há um objetivo final na sequência de subobjetivos, ou, talvez, (ii) que levaria muito tempo para atingir todos os subobjetivos, ou talvez (iii) que percorrer todos os subcaminhos seria uma distância muito grande. Zenão poderia ter apresentado todas essas defesas. Ao atacar a justificativa (ii), Aristóteles objeta que, se Zenão restringisse sua noção de infinito a um infinito potencial e rejeitasse a ideia de subcaminhos de comprimento zero, então Aquiles atingiria seu objetivo em um tempo finito, o que seria uma saída para o paradoxo. No entanto, um defensor da Solução Padrão afirma que Aquiles atinge seu objetivo percorrendo uma infinidade real de caminhos em um tempo finito, e essa é a saída para o paradoxo. (A discussão sobre se Aquiles pode ser propriamente descrito como alguém que completa uma infinidade de tarefas em vez de objetivos será considerada na Seção 5c .) O tratamento dado por Aristóteles aos paradoxos é basicamente criticado por ser inconsistente com a análise real padrão atual, que se baseia na teoria dos conjuntos de Zermelo Fraenkel e seus conjuntos de fato infinitos. Resumindo os erros de Zenão e Aristóteles no Paradoxo de Aquiles e no Paradoxo da Dicotomia, ambos cometeram o erro de pensar que, se um corredor precisa percorrer um número infinito de subcaminhos para alcançar seu objetivo, então ele nunca o alcançará; o cálculo mostra como Aquiles pode fazer isso e alcançar seu objetivo em um tempo finito, e a fecundidade das ferramentas do cálculo implica que a Solução Padrão é um tratamento melhor do que o de Aristóteles.

Passemos agora aos outros paradoxos. Ao propor sua abordagem para o Paradoxo do Grande e do Pequeno e para o Paradoxo da Divisibilidade Infinita, Aristóteles afirmou que:

…uma linha não pode ser composta de pontos, sendo a linha contínua e o ponto indivisível. ( Física, 231a25)

Na análise real moderna, um contínuo é composto de pontos, mas Aristóteles, sempre defensor do raciocínio de senso comum, afirmava que um contínuo não pode ser composto de pontos. Aristóteles acreditava que uma linha só pode ser composta de linhas menores, indefinidamente divisíveis, e não de pontos sem magnitude. Da mesma forma, uma distância não pode ser composta de lugares pontuais e uma duração não pode ser composta de instantes. Este é um dos principais erros de Aristóteles, segundo os defensores da Solução Padrão, pois, ao manter essa visão de senso comum, ele criou um obstáculo ao desenvolvimento frutífero da análise real. Além de criticar os pontos, os aristotélicos se opõem à ideia de um número infinito deles.

Em sua análise do Paradoxo da Flecha, Aristóteles afirmou que Zenão assume erroneamente que o tempo é composto de momentos indivisíveis, mas “Isso é falso, pois o tempo não é composto de momentos indivisíveis, assim como nenhuma outra grandeza o é” ( Física , 239b8-9). Zenão precisa desses momentos instantâneos; dessa forma, ele pode afirmar que a flecha não se move durante o instante. Aristóteles recomenda não permitir que Zenão recorra a momentos instantâneos e restringir sua argumentação a dizer que o movimento pode ser dividido apenas em uma infinidade potencial de intervalos. Essa restrição implica que a trajetória da flecha pode ser dividida em um número finito de intervalos a qualquer momento. 

Portanto, a qualquer instante, existe um intervalo finito durante o qual a flecha pode exibir movimento, mudando de posição. Assim, a flecha voa, afinal. Ou seja, Aristóteles declara que o argumento de Zenão se baseia em pressupostos falsos, sem os quais não há problema algum com o movimento da flecha. No entanto, a Solução Padrão concorda com Zenão que o tempo pode ser composto de momentos ou instantes indivisíveis, e implica que Aristóteles diagnosticou erroneamente onde reside o erro no Paradoxo da Flecha. Os defensores da Solução Padrão acrescentariam que permitir que uma duração seja composta de momentos indivisíveis é o que é necessário para um cálculo frutífero, e a recomendação de Aristóteles é um obstáculo ao desenvolvimento do cálculo.

A abordagem de Aristóteles ao Paradoxo das Fileiras Móveis concorda basicamente com a solução padrão para esse paradoxo: Zenão não compreendeu a diferença entre velocidade e velocidade relativa.

Em relação ao Paradoxo do Grão de Milho, Aristóteles afirmou que as partes não precisam ter todas as propriedades do todo, e, portanto, os grãos não precisam produzir sons só porque alqueires de grãos os produzem ( Física , 250a, 22). E se as partes não produzem sons, não devemos concluir que o todo não pode produzir som. Teria sido útil se Aristóteles tivesse se aprofundado mais no que hoje chamamos de Falácias da Divisão e da Composição, cometidas por Zenão. Contudo, a resposta de Aristóteles ao Grão de Milho é breve, mas precisa para os padrões atuais.

Em conclusão, existem duas soluções adequadas, porém diferentes, para os paradoxos de Zenão: a Solução de Aristóteles e a Solução Padrão? Não. A abordagem de Aristóteles não resiste à crítica de uma maneira que a maioria dos estudiosos considere adequada. A Solução Padrão utiliza conceitos contemporâneos que se mostraram mais valiosos para a resolução de muitos outros problemas em matemática e física. A substituição dos conceitos de senso comum de Aristóteles pelos novos conceitos da análise real e da mecânica clássica tem sido um ingrediente fundamental para o desenvolvimento bem-sucedido da matemática e da ciência, e por essa razão a grande maioria dos cientistas, matemáticos e filósofos rejeita a abordagem de Aristóteles. No entanto, há uma minoria significativa na comunidade filosófica que discorda, como veremos nas seções seguintes.

Veja (Wallace2003) para uma análise mais aprofundada de Aristóteles e como o desenvolvimento do conceito de infinito levou à solução padrão para os paradoxos de Zenão.

5. Outras questões envolvendo os paradoxos

a. Consequências de Aceitar a Solução Padrão

Aceitar a Solução Padrão para os Paradoxos de Zenão tem um preço. As seguintes intuições ou suposições – antes consideradas seguras – devem ser rejeitadas: 

*Um contínuo é demasiado homogêneo para ser composto de pontos indivisíveis.

*Os corredores não têm tempo para ir a uma infinidade de lugares em um tempo finito.

*A soma de uma série infinita de termos positivos é sempre infinita.

*Para cada instante existe um instante seguinte e para cada lugar ao longo de uma linha existe um lugar seguinte.

*Uma distância finita ao longo de uma linha não pode conter um número infinito de pontos.

*Quanto mais pontos houver em uma linha, mais longa será a linha.

*É absurdo que existam números maiores que todos os números inteiros.

*Uma curva unidimensional não pode preencher uma área bidimensional, assim como uma curva infinitamente longa não pode envolver uma área finita.

*O todo é sempre maior que a soma de suas partes.

O item (8) foi minado quando se descobriu que o contínuo implica a existência de curvas fractais. No entanto, a perda da intuição (1) causou a maior polêmica, pois muitos filósofos se opõem à construção de um contínuo a partir de pontos. Aristóteles havia dito: “Nada contínuo pode ser composto de coisas que não têm partes” (Física VI.3 234a 7-8). O filósofo austríaco Franz Brentano acreditava, como Aristóteles, que as teorias científicas deveriam ser descrições literais da realidade, em oposição à visão mais popular hoje em dia de que as teorias são idealizações ou aproximações da realidade. A continuidade é algo dado na percepção, disse Brentano, e não em uma construção matemática; portanto, a matemática a representa erroneamente. Em uma carta de 1905 a Husserl, ele disse: “Considero absurdo interpretar um contínuo como um conjunto de pontos”.

Mas a Solução Padrão precisa ser vista como um pacote a ser avaliado em termos de todos os seus custos e benefícios. Dessa perspectiva, a análise de conjuntos pontuais de meios contínuos da Solução Padrão resistiu às críticas e demonstrou seu valor na matemática e na física matemática. Consequentemente, os defensores da Solução Padrão afirmam que devemos conviver com a rejeição das oito intuições listadas acima e aceitar as implicações contraintuitivas, como a existência de meios contínuos divisíveis, conjuntos infinitos de tamanhos diferentes e curvas que preenchem o espaço. Eles concordam com o filósofo W. V. O. Quine, que exige que sejamos conservadores ao revisar o sistema de afirmações em que acreditamos e que recomenda a “mínima mutilação”. Os defensores da Solução Padrão dizem que nenhuma mutilação menor funcionará satisfatoriamente.

b. Críticas à Solução Padrão

Relutantes em rejeitar tantas de nossas intuições, Henri-Louis Bergson, Max Black, Franz Brentano, LEJ Brouwer, Solomon Feferman, William James, Charles S. Peirce, James Thomson, Alfred North Whitehead e Hermann Weyl argumentaram, de maneiras diferentes, que a concepção matemática padrão de continuidade não se aplica aos processos físicos, ou é inadequada para descrevê-los. Eis as suas principais razões: (1) o infinito real não pode ser encontrado na experiência e, portanto, é irreal; (2) a inteligência humana não é capaz de compreender o movimento; (3) a sequência de tarefas que Aquiles realiza é finita e a ilusão de que é infinita deve-se aos matemáticos que confundem as suas representações matemáticas com aquilo que é representado; (4) o movimento é unitário ou “suave”, embora a sua trajetória espacial seja infinitamente divisível; (5) tratar o tempo como sendo feito de instantes é tratá-lo como estático em vez de como o aspeto dinâmico da consciência que realmente é; (6) os infinitos reais e o continuum contemporâneo não são indispensáveis ​​para resolver os paradoxos; e (7) a suposição implícita da Solução Padrão da primazia da coerência das ciências é injustificada porque o que é realmente primário é a coerência com o conhecimento a priori e o senso comum.

Veja Salmon (1970, Introdução) e Feferman (1998) para uma discussão sobre a controvérsia acerca da qualidade dos argumentos de Zenão e uma introdução à vasta literatura pertinente. Essa controvérsia é muito menos debatida na literatura matemática atual e praticamente ignorada na literatura científica contemporânea. Uma minoria de filósofos se dedica ativamente a tentar promover uma das sete razões acima e a rejeitar uma das intuições ou pressupostos outrora considerados seguros, listados na seção anterior.

Uma importante questão filosófica em aberto é se os paradoxos devem ser resolvidos assumindo que uma linha não é composta de pontos, mas sim de intervalos, e se o uso de infinitesimais é essencial para uma compreensão adequada dos paradoxos. Para um exemplo de como resolver os paradoxos de Zenão sem usar o contínuo e mantendo a intuição de Demócrito de que existe um limite inferior para a divisibilidade do espaço, veja “Átomos do Espaço” na teoria da gravidade quântica em loop de Carlo Rovelli (Rovelli 2017, pp. 169-171).

c. Supertarefas e Máquinas Infinitas

No paradoxo de Aquiles de Zenão, Aquiles não percorre uma distância infinita, mas percorre um número infinito de distâncias. Ao fazer isso, ele precisa completar uma sequência infinita de tarefas ou ações ? Em outras palavras, supondo que Aquiles complete a tarefa de alcançar a tartaruga, ele completa, com isso, uma supertarefa , um número transfinito de tarefas em um tempo finito?

Bertrand Russell disse "sim". Ele argumentou que é possível realizar uma tarefa em meio minuto, depois outra tarefa no quarto de minuto seguinte, e assim por diante, até completar um minuto. Ao final do minuto, um número infinito de tarefas teria sido realizado. De fato, Aquiles faz isso ao capturar a tartaruga, disse Russell. Em meados do século XX, Hermann Weyl, Max Black, James Thomson e outros contestaram essa ideia, dando início a uma controvérsia contínua sobre o número de tarefas que podem ser concluídas em um tempo finito.

Essa controvérsia gerou uma discussão relacionada sobre a possibilidade de existir uma máquina capaz de executar um número infinito de tarefas em um tempo finito. Uma máquina capaz disso é chamada de máquina infinita . Em 1954, numa tentativa de refutar o argumento de Russell, o filósofo James Thomson descreveu uma lâmpada que seria uma típica máquina infinita. Imagine que a máquina ligue a lâmpada por meio minuto; depois desligue-a por um quarto de minuto; ligue-a novamente por um oitavo de minuto; desligue-a por um décimo sexto de minuto; e assim por diante. A lâmpada estaria acesa ou apagada ao final de cada minuto? 

Thomson argumentou que deveria ser uma coisa ou outra, mas não poderia ser nenhuma das duas, porque cada período em que a lâmpada está apagada é seguido por um período em que está acesa, e vice-versa, portanto, tal lâmpada não pode existir, e o erro específico no raciocínio foi supor que é logicamente possível executar uma super tarefa. A implicação para os paradoxos de Zenão é que Thomson está negando a descrição de Russell da tarefa de Aquiles como uma super tarefa, ou seja, a conclusão de um número infinito de sub-tarefas em um tempo finito.

Paul Benacerraf (1962) critica o raciocínio de Thomson por não perceber que a descrição inicial da lâmpada determina seu estado em cada período da sequência de acionamento, mas não determina nada sobre seu estado no limite da sequência, ou seja, ao final do minuto. A lâmpada poderia estar acesa ou apagada no limite. O limite da sequência convergente infinita não está presente na sequência. Portanto, Thomson não estabeleceu a impossibilidade lógica de completar essa super tarefa, mas apenas que a descrição da configuração não é tão completa quanto ele esperava.

Será que algum outro argumento poderia estabelecer essa impossibilidade? Benacerraf sugere que a resposta depende do que normalmente entendemos pelo termo "concluir uma tarefa". Se o significado não exige que as tarefas tenham tempos mínimos para sua conclusão, então talvez Russell esteja certo ao afirmar que algumas super tarefas podem ser concluídas, diz ele; mas se um tempo mínimo for sempre necessário, então Russell está enganado, porque um tempo infinito seria necessário. O que se faz necessário é uma melhor definição do significado do termo "tarefa". Grünbaum contesta a dependência de Benacerraf no significado comum. "Precisamos atentar para os compromissos da linguagem comum", diz Grünbaum, "apenas na medida em que precisamos nos proteger de sermos vitimados ou entorpecidos por eles."

O argumento da lâmpada de Thomson gerou uma vasta literatura na filosofia. Aqui estão algumas das questões levantadas. Qual é a definição adequada de "tarefa"? Por exemplo, ela requer uma quantidade mínima de tempo no sentido técnico do termo para os físicos? Mesmo que seja fisicamente impossível acionar o interruptor da lâmpada de Thomson, porque a velocidade com que o interruptor é acionado excederia a velocidade da luz, suponhamos que a física fosse diferente e não houvesse limite de velocidade; o que aconteceria então? A lâmpada é logicamente impossível ou fisicamente impossível? A lâmpada é metafisicamente impossível? Foi correto Thomson supor que a questão de saber se a lâmpada está acesa ou apagada ao final de um minuto deve ter uma resposta determinada? A pergunta de Thomson não tem resposta, dada a descrição inicial da situação, ou tem uma resposta que somos incapazes de calcular? 

Devemos concluir que não faz sentido dividir uma tarefa finita em um número infinito de sub-tarefas cada vez menores? Existe uma diferença importante entre completar uma infinidade enumerável de tarefas e completar uma infinidade incontável de tarefas? Questões interessantes surgem quando introduzimos a teoria da relatividade de Einstein e consideramos uma supertarefa bifurcada . Trata-se de uma sequência infinita de tarefas em um intervalo finito do tempo próprio de um observador externo , mas não no tempo próprio da máquina. Veja Earman e Norton (1996) para uma introdução à vasta literatura sobre esses tópicos. Infelizmente, não há consenso na comunidade filosófica sobre a maioria das questões que acabamos de abordar.

d. Construtivismo

O espírito da oposição de Aristóteles aos infinitos atuais persiste hoje na filosofia da matemática chamada construtivismo. O construtivismo não é uma posição precisamente definida, mas implica que os objetos e procedimentos matemáticos aceitáveis ​​devem ser fundamentados em construções e não, por exemplo, na suposição de que o objeto não existe , deduzindo-se então uma contradição dessa suposição. A maioria dos construtivistas acredita que as construções aceitáveis ​​devem ser idealmente realizáveis ​​por humanos, independentemente das limitações práticas de tempo ou dinheiro. Assim, eles diriam que infinitos potenciais, funções recursivas, indução matemática e o argumento diagonal de Cantor são construtivos, mas os seguintes não o são: o axioma da escolha, a lei do terceiro excluído, a lei da dupla negação, infinitos completos e o continuum clássico da Solução Padrão. A implicação é que os paradoxos de Zenão não foram resolvidos corretamente usando os métodos da Solução Padrão. Os construtivistas mais conservadores, os finitistas, iriam ainda mais longe e rejeitariam as infinitudes potenciais devido aos recursos computacionais finitos do ser humano, mas esse subgrupo conservador de construtivistas está em grande desuso.

O intuicionismo de L.E.J. Brouwer foi a principal teoria construtivista do início do século XX. Em resposta às suspeitas levantadas pela descoberta do Paradoxo de Russell e pela introdução na teoria dos conjuntos do controverso axioma não construtivo da escolha, Brouwer tentou fundamentar a matemática no que ele acreditava ser uma base epistemológica mais sólida, argumentando que os conceitos matemáticos são admissíveis somente se puderem ser construídos a partir das vívidas intuições temporais de um matemático ideal, que são intuições a priori do tempo, e, portanto, fundamentadas nelas.

O continuum intuicionista de Brouwer possui a propriedade aristotélica de indivisibilidade. Isso significa que, diferentemente da composição do continuum pela teoria dos conjuntos da Solução Padrão, que permite, por exemplo, que o intervalo fechado dos números reais de zero a um seja dividido ou seccionado (isto é, seja a união de conjuntos de) aqueles números no intervalo que são menores que a metade e aqueles números no intervalo que são maiores ou iguais à metade, o intervalo fechado correspondente do continuum intuicionista não pode ser dividido dessa forma em dois conjuntos disjuntos. Essa indivisibilidade ou inseparabilidade concorda em espírito com a ideia aristotélica da continuidade de um continuum real, mas discorda em espírito com a ideia aristotélica de não permitir que o continuum seja composto de pontos. [Para mais informações sobre este tópico, veja Posy (2005), pp. 346-7.]

Embora todos concordem que qualquer demonstração matemática legítima deve usar apenas um número finito de passos e ser construtiva nesse sentido, a maioria dos matemáticos na primeira metade do século XX afirmava que a matemática construtiva não poderia produzir uma teoria adequada do contínuo, porque teoremas essenciais deixariam de ser teoremas, e os princípios e procedimentos construtivistas seriam muito complicados para serem usados ​​com sucesso. Em 1927, David Hilbert exemplificou essa atitude ao objetar que as restrições de Brouwer à matemática permitida — como rejeitar a demonstração por contradição — eram como tirar o telescópio do astrônomo.

Mas, graças em grande parte ao desenvolvimento posterior da matemática construtivista por Errett Bishop e Douglas Bridges na segunda metade do século XX, a maioria dos filósofos da matemática contemporâneos acredita que a questão de saber se o construtivismo poderia ser bem-sucedido no sentido de produzir uma teoria adequada do contínuo ainda está em aberto [ver Wolf (2005), p. 346, e McCarty (2005), p. 382], e, nessa medida, também permanece em aberto a questão de se a Solução Padrão para os Paradoxos de Zenão precisa ser rejeitada ou talvez revisada para incorporar o construtivismo. Frank Arntzenius (2000), Michael Dummett (2000) e Solomon Feferman (1998) realizaram importantes trabalhos filosóficos para promover a tradição construtivista. Não obstante, a vasta maioria dos matemáticos praticantes da atualidade utiliza rotineiramente a matemática não construtivista.

e. Análise não padronizada

Embora Zenão e Aristóteles tivessem o conceito de pequeno, não possuíam o conceito de infinitesimalmente pequeno, que é o conceito informal usado por Leibniz (e Newton) no desenvolvimento do cálculo. No século XIX, os infinitesimais foram eliminados do desenvolvimento padrão do cálculo devido ao trabalho de Cauchy e Weierstrass na definição de derivada em termos de limites usando o método épsilon-delta. Mas, em 1881, C.S. Peirce defendeu a restauração dos infinitesimais devido ao seu apelo intuitivo. Infelizmente, ele não conseguiu elaborar os detalhes, assim como todos os matemáticos — até 1960, quando Abraham Robinson produziu sua análise não-padrão. Nesse ponto, não era mais razoável dizer que banir os infinitesimais da análise representava um avanço intelectual.

O que Robinson fez foi estender os números reais padrão para incluir infinitesimais, usando a seguinte definição: h é infinitesimal se, e somente se, seu valor absoluto for menor que 1/n, para todo número padrão positivo n. Robinson então criou um modelo não padrão de análise usando números hiperreais. A classe dos números hiperreais contém as contrapartes dos reais, mas, além disso, contém números infinitamente pequenos e infinitamente grandes, e qualquer número que seja a soma, ou a diferença, entre um número real padrão e um número infinitesimal, como 3 + h e 3 – 4h² . O inverso de um infinitesimal é um número hiperreal infinito, um número infinitamente grande. Esses hiperreais obedecem às regras usuais dos números reais, exceto pelo axioma de Arquimedes (Para qualquer número real, existe um número natural maior). Distâncias infinitesimais entre pontos distintos são permitidas, diferentemente do que ocorre na análise real padrão. A derivada é definida em termos da razão entre infinitesimais, no estilo de Leibniz, em vez de em termos de um limite como na análise real padrão, no estilo de Weierstrass.

A análise não-padrão é assim chamada porque foi inspirada pela demonstração de Thoralf Skolem, em 1933, da existência de modelos de aritmética de primeira ordem que não são isomorfos ao modelo padrão da aritmética. O que os torna não-padrão é, sobretudo, o fato de conterem (hiper)inteiros infinitamente grandes. Para o cálculo não-padrão, são necessários modelos não-padrão de análise real, e não apenas de aritmética. Uma característica importante que demonstra a utilidade da análise não-padrão é que ela atinge essencialmente os mesmos teoremas que os do cálculo clássico. O tratamento dos paradoxos de Zenão é interessante sob essa perspectiva. Veja McLaughlin (1994) para uma explicação de como os paradoxos de Zenão podem ser tratados usando infinitesimais. McLaughlin acredita que essa abordagem para os paradoxos é a única bem-sucedida, mas os comentadores geralmente discordam dessa conclusão e a consideram apenas uma solução alternativa. Veja Dainton (2010), pp. 306-9, para uma discussão sobre isso.

f. Análise Infinitesimal Suave

Na década de 1960, Abraham Robinson ressuscitou o infinitesimal como um número infinitesimal, enquanto na década de 1970, F.W. Lawvere o ressuscitou como uma grandeza infinitesimal. Seu trabalho é chamado de "análise infinitesimal suave" e faz parte da "geometria diferencial sintética". Na análise infinitesimal suave, uma linha curva é composta por vetores tangentes infinitesimais. Uma diferença significativa em relação a uma análise não padrão, como a de Robinson acima, é que todas as curvas suaves são retas em distâncias infinitesimais, enquanto as curvas de Robinson podem se curvar em distâncias infinitesimais. Na análise infinitesimal suave, a flecha de Zenão não tem tempo para alterar sua velocidade durante um intervalo infinitesimal. A análise infinitesimal suave mantém a intuição de que um contínuo deve ser mais suave do que o contínuo da Solução Padrão. 

Ao contrário da análise padrão e da análise não padrão, cujos sistemas de números reais são entidades da teoria dos conjuntos e se baseiam na lógica clássica, o sistema de números reais da análise infinitesimal suave não é uma entidade da teoria dos conjuntos, mas sim um objeto em um topos da teoria das categorias, e sua lógica é intuicionista (ver Harrison, 1996, p. 283). Assim como a análise não padrão de Robinson, a análise infinitesimal suave de Lawvere também pode ser uma abordagem promissora para fundamentar a análise real e, portanto, para resolver os paradoxos de Zenão, mas não há consenso de que os paradoxos de Zenão precisem ser resolvidos dessa maneira. Para mais detalhes, veja a nota 11 em Dainton (2010), pp. 420-1.

6. O legado e o significado atual dos paradoxos

Que influência teve Zenão? Nenhuma no Oriente. No Ocidente, porém, sua influência e interesse continuam até os dias de hoje.

Comecemos pela sua influência sobre os antigos gregos. Antes de Zenão, os filósofos expressavam a sua filosofia em poesia, e ele foi o primeiro filósofo a usar a prosa. Mais importante ainda, foi um dos primeiros filósofos a fundamentar as suas afirmações com argumentos, em vez de simplesmente as fazer; foi isso que distinguiu a tradição grega da dos babilónios e egípcios. Este novo método de apresentação estava destinado a moldar quase toda a filosofia, matemática e ciência posteriores. Zenão chamou a atenção para a ideia de que a forma como o mundo nos aparece não corresponde à sua realidade. Zenão provavelmente também ajudou a influenciar os atomistas gregos a aceitarem a existência de átomos. Aristóteles foi influenciado por Zenão a usar a distinção entre infinito atual e potencial como uma forma de resolver os paradoxos, e a atenção cuidadosa a esta distinção tem influenciado os matemáticos desde então. 

As demonstrações nos Elementos de Euclides , por exemplo, usaram apenas procedimentos potencialmente infinitos. A consciência dos paradoxos de Zenão tornou os intelectuais gregos e todos os intelectuais ocidentais posteriores mais conscientes de que podem ser cometidos erros ao pensar sobre o infinito, a continuidade, o movimento e o estar num lugar. Isso também os tornou cautelosos em relação a qualquer afirmação de que uma grandeza contínua pudesse ser formada apenas por partes discretas. "Os argumentos de Zenão, de alguma forma, forneceram fundamentos para quase todas as teorias do espaço, do tempo e do infinito que foram construídas desde a sua época até a nossa", disse Bertrand Russell no século XX.

Existe controvérsia na literatura dos séculos XX e XXI sobre se Zenão desenvolveu alguma técnica matemática específica e nova. A maioria dos estudiosos afirma que o uso consciente do método de argumentação indireta surgiu tanto na matemática quanto na filosofia de Zenão, independentemente uma da outra. Veja Hintikka (1978) para uma discussão sobre essa controvérsia acerca das origens. Há consenso de que o método era grego e não babilônico, assim como o método de provar algo deduzindo-o de pressupostos explicitamente declarados. G. E. L. Owen (Owen 1958, p. 222) argumentou que Zenão influenciou o conceito aristotélico de ausência de movimento em um instante, o que implica que não há um instante em que um corpo começa a se mover, nem um instante em que um corpo muda sua velocidade. 

Consequentemente, diz Owen, a concepção aristotélica é um obstáculo para um conceito de aceleração no estilo newtoniano, e esse obstáculo é “a principal influência de Zenão na matemática da ciência”. Outros comentadores consideram a observação de Owen um pouco dura em relação a Zenão, pois, perguntam eles, se Zenão não tivesse nascido, Aristóteles teria provavelmente desenvolvido algum outro conceito de movimento?

Os paradoxos de Zenão receberam atenção explícita de estudiosos ao longo dos séculos posteriores. Pierre Gassendi, no início do século XVII, mencionou os paradoxos de Zenão como a razão para afirmar que os átomos do mundo não poderiam ser infinitamente divisíveis. O artigo de Pierre Bayle, de 1696, sobre Zenão, chegou à conclusão cética de que, pelas razões apresentadas por Zenão, o conceito de espaço é contraditório. No início do século XIX, Hegel sugeriu que os paradoxos de Zenão corroboravam sua visão de que a realidade é inerentemente contraditória.

Algo se move, não porque num instante está aqui e noutro ali, mas porque num mesmo instante está aqui e não está, porque neste “aqui” está e não está ao mesmo tempo. O movimento sensorial externo é a existência imediata da contradição (Georg Hegel, Ciência da Lógica).

Os paradoxos de Zenão geraram desconfiança nos infinitos, e essa desconfiança influenciou os movimentos contemporâneos do construtivismo, do finitismo e da análise não-padrão. O dialeteísmo, a aceitação de contradições verdadeiras por meio de uma lógica formal 'paraconsistente', oferece uma resposta mais recente, embora impopular, aos paradoxos de Zenão, mas não foi criado especificamente em resposta às preocupações com esses paradoxos. Com a introdução, no século XX, de experimentos mentais sobre supertarefas, pesquisas filosóficas interessantes têm se voltado para a compreensão do que significa concluir uma tarefa.

Os paradoxos de Zenão são frequentemente citados como um estudo de caso de como um problema filosófico foi resolvido, embora a solução tenha levado mais de dois mil anos para se concretizar.

Assim, os paradoxos de Zenão tiveram uma ampla gama de impactos em pesquisas subsequentes. Poucas pesquisas atuais se dedicam diretamente a como resolver os próprios paradoxos, especialmente nos campos da matemática e da ciência, embora a discussão continue na filosofia, principalmente sobre se uma grandeza contínua deve ser composta de grandezas discretas, como se uma linha deve ser composta de pontos. 

Se existem abordagens alternativas para os paradoxos de Zenão, isso levanta a questão de se existe uma única solução para os paradoxos, várias soluções ou uma solução ótima. A resposta para a questão de se a Solução Padrão é a solução correta para os paradoxos de Zenão também pode depender de se a melhor física do futuro, que reconcilie as teorias da mecânica quântica e da relatividade geral, exigirá que assumamos que o espaço-tempo é composto, em seu nível mais básico, de pontos ou, em vez disso, de regiões, laços ou algo mais.

Na perspectiva da Solução Padrão, a lição mais significativa aprendida pelos pesquisadores que tentaram resolver os paradoxos de Zenão é que a saída exige a revisão de muitas de nossas antigas teorias e seus conceitos. Precisamos estar dispostos a priorizar as virtudes de preservar a consistência lógica e promover a produtividade matemática e científica em detrimento da virtude de preservar nossas intuições. Zenão desempenhou um papel significativo nessa tendência progressista.